(IME – 17/ IME – 19) Seja Z um número complexo tal que 2Z Zi possui argumento igual a 3 4 π e 3log (2Z 2Z 1) 2.   Determine o número complex...

Vamos começar resolvendo a primeira informação que temos: o argumento de 2Z + Zi. Sabemos que o argumento de um número complexo é o ângulo que ele forma com o eixo real no plano complexo. Nesse caso, o argumento de 2Z + Zi é 3π/4. Podemos escrever isso como uma equação: arg(2Z + Zi) = 3π/4 Podemos também escrever 2Z + Zi na forma trigonométrica: 2Z + Zi = r(cosθ + i senθ) Onde r é o módulo de 2Z + Zi e θ é o argumento de 2Z + Zi. Substituindo os valores que temos: 2Z + Zi = r(cos(3π/4) + i sen(3π/4)) 2Z + Zi = r(-√2/2 + i √2/2) Agora vamos para a segunda informação que temos: 3log(2Z^2 + 2Z + 1) = 2 Podemos reescrever isso como: log(2Z^2 + 2Z + 1)^3 = 2 2Z^2 + 2Z + 1 = 10^(2/3) Agora podemos substituir 2Z + Zi por r(cosθ + i senθ) e resolver a equação: 2Z + Zi = r(cosθ + i senθ) 2Z = r cosθ - i r senθ Substituindo na equação anterior: r cosθ - i r senθ + Zi = r(-√2/2 + i √2/2) r cosθ - r senθ i + Zi = -r√2/2 + r√2/2 i r(cosθ + i senθ) + Zi = r(√2/2 - i √2/2) 2Z + Zi = r(cos(π/4) + i sen(π/4)) 2Z + Zi = r/√2 (cos(π/4) + i sen(π/4)) + r/√2 i (cos(π/4) + i sen(π/4)) 2Z + Zi = r/√2 (1 + i) + r/√2 i (1 - i) 2Z + Zi = r/√2 + r/√2 i + r/√2 i - r/√2 2Z + Zi = r/√2 - r/√2 + r/√2 i + r/√2 i 2Z + Zi = r/√2 i Agora podemos substituir na equação que encontramos anteriormente: 2Z^2 + 2Z + 1 = 10^(2/3) (2Z + Zi)^2 + 2Z + 1 = 10^(2/3) (r/√2 i)^2 + 2Z + 1 = 10^(2/3) -r^2/2 + 2Z + 1 = 10^(2/3) 2Z = r^2/2 + 10^(2/3) - 1 Agora podemos substituir na equação que encontramos anteriormente: 2Z = r cosθ - i r senθ r^2/2 + 10^(2/3) - 1 = r cosθ - i r senθ Podemos elevar ambos os lados ao quadrado: (r^2/2 + 10^(2/3) - 1)^2 = r^2 cos^2θ + r^2 sen^2θ r^4/4 + 2r^2 10^(2/3) + 10^(4/3) - r^2 + 2r^2 10^(2/3) - 2r^2 10^(2/3) + r^2 = r^2 r^4/4 + 4r^2 10^(2/3) + 10^(4/3) - r^2 = r^2 r^4/4 + 4r^2 10^(2/3) + 10^(4/3) = 2r^2 r^4 + 16r^2 10^(2/3) + 4 10^(4/3) = 8r^2 r^4 - 8r^2 + 16r^2 10^(2/3) + 4 10^(4/3) = 0 Podemos fazer uma substituição: x = r^2 x^2 - 8x + 16x 10^(2/3) + 4 10^(4/3) = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: x = 2 10^(2/3) ou x = 2 10^(2/3) Como r é um número real, a única solução possível é: r^2 = 2 10^(2/3) r = √(2 10^(2/3)) Agora podemos voltar para a equação que encontramos para 2Z + Zi: 2Z + Zi = r(cos(π/4) + i sen(π/4)) 2Z + Zi = √(2 10^(2/3)) (cos(π/4) + i sen(π/4)) 2Z + Zi = √(10^(2/3)) + √(10^(2/3)) i 2Z = √(10^(2/3)) - √(10^(2/3)) i - Zi 2Z = √(10^(2/3)) - √(10^(2/3)) i - r(cosθ + i senθ) 2Z = √(10^(2/3)) - √(10^(2/3)) i - √(2 10^(2/3)) (cos(3π/4) + i sen(3π/4)) 2Z = √(10^(2/3)) - √(10^(2/3)) i - √(20) (cos(3π/4) + i sen(3π/4)) 2Z = √(10^(2/3)) - √(10^(2/3)) i - √(20) (-√2/2 + i √2/2) 2Z = √(10^(2/3)) - √(10^(2/3)) i + √10 - √10 i 2Z = (√10 - √10 i)/2 Z = (√10 - √10 i)/4 Portanto, a resposta é Z = (√10 - √10 i)/4.