8. (Udesc 2015) Observe a figura. Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo BIC ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade do ângulo inscrito, que diz que um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade do arco correspondente. Como o ponto I é o incentro do triângulo ABC, temos que o ângulo BIC é igual a 105 graus, e como BC e DE são paralelos, temos que o ângulo BDE é igual ao ângulo BAC. Assim, podemos calcular o ângulo BAC somando os ângulos BDE e BDC, que são suplementares, e subtraindo o ângulo BDE, que é igual ao ângulo BAC. Ângulo BAC = (180 - 105) + (180 - 75) - 75 = 105 graus Agora, podemos utilizar a propriedade do ângulo central para calcular o arco BC da circunferência circunscrita ao triângulo ABC: Ângulo BOC = 2 x ângulo BAC = 2 x 105 = 210 graus Arco BC = (Ângulo BOC / 360) x 2 x pi x raio Como o triângulo ABC é isósceles, temos que o arco BC é igual ao arco AC, e como o ponto I é o incentro, temos que o segmento AI é perpendicular a BC e divide o ângulo BAC em dois ângulos iguais. Assim, podemos calcular o ângulo AIC: Ângulo AIC = (180 - 105) / 2 = 37,5 graus E como o triângulo AIC é retângulo em I, temos que: AC = AI / cos(Ângulo AIC) AC = 2 x R / cos(37,5) AC = 20 x sqrt(6) Portanto, a alternativa correta é a letra c) 20 x sqrt(2).