15. (Insper 2011) No plano cartesiano, A,B, C,D,E e F são vértices consecutivos de um hexágono regular de lados medindo 2. O lado BC está cont...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Sabemos que o lado BC está contido no eixo das abscissas e mede 2 unidades, então podemos escrever as coordenadas dos pontos B e C como (0,0) e (2,0), respectivamente. O vértice A pertence ao eixo das ordenadas, então sua coordenada x é 0 e sua coordenada y é a medida do raio do hexágono regular, que é igual a 2. Portanto, A tem coordenadas (0,2). Para encontrar as coordenadas dos pontos D, E e F, podemos utilizar rotações de 60 graus em relação ao centro do hexágono, que é o ponto (1,1). Assim, temos: - D: (1+2cos(60), 1+2sen(60)) = (2, 1+√3) - E: (1+2cos(120), 1+2sen(120)) = (-1, 1+√3) - F: (1+2cos(180), 1+2sen(180)) = (-1, 1) Agora podemos encontrar as coordenadas dos pontos P e Q, que são as interseções da reta DE com os eixos das abscissas e ordenadas, respectivamente. A reta DE tem coeficiente angular igual a (1+√3)/(2-(-1)) = (√3+1)/3, e passa pelo ponto D, então podemos escrever sua equação como y = (√3+1)/3 (x-2) + (1+√3). Para encontrar a coordenada x de P, fazemos y = 0 na equação da reta DE: 0 = (√3+1)/3 (x-2) + (1+√3) (√3+1)/3 (x-2) = -(1+√3) x-2 = -3(1+√3)/(√3+1) x = 2 - 3(1+√3)/(√3+1) x = 2 - 3(√3-1) x = -√3-1 Portanto, P tem coordenadas (-√3-1, 0). Para encontrar a coordenada y de Q, fazemos x = 0 na equação da reta DE: y = (√3+1)/3 (-2) + (1+√3) y = -2/3 + 1+√3 y = 4/3 + √3 Portanto, Q tem coordenadas (0, 4/3+√3). Agora podemos calcular a distância entre P e Q utilizando a fórmula da distância entre dois pontos: d(P,Q) = √[(0-(-√3-1))^2 + (4/3+√3-0)^2] d(P,Q) = √[3+2√3+1 + 16/9+8/3√3+3] d(P,Q) = √(7+10√3) Portanto, a alternativa correta é a letra E) 10√3.