(Insper 2011) No plano cartesiano, A,B, C,D,E e F são vértices consecutivos de um hexágono regular de lados medindo 2. O lado BC está contido ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a simetria do hexágono regular. Como o lado BC está contido no eixo das abscissas e o vértice A pertence ao eixo das ordenadas, podemos concluir que o ponto P está localizado no eixo das abscissas e o ponto Q está localizado no eixo das ordenadas. O comprimento de cada lado do hexágono é 2, então a distância entre os vértices A e B é 2. Como o hexágono é regular, a distância entre os vértices A e F é igual a 4. Podemos traçar a reta que passa pelos pontos A e D, que é perpendicular ao lado BC e que divide o hexágono em dois triângulos equiláteros. Essa reta passa pelo ponto médio do lado DE, que é o ponto P. Assim, a coordenada x do ponto P é igual a metade da coordenada x do ponto D, que é igual a 2. Portanto, P tem coordenadas (2, 0). Da mesma forma, podemos traçar a reta que passa pelos pontos A e E, que é perpendicular ao lado BC e que divide o hexágono em dois triângulos equiláteros. Essa reta passa pelo ponto médio do lado DF, que é o ponto Q. Assim, a coordenada y do ponto Q é igual a metade da coordenada y do ponto F, que é igual a 2√3. Portanto, Q tem coordenadas (0, 2√3). A distância entre os pontos P e Q é igual à distância entre as suas coordenadas y, que é igual a 2√3. Portanto, a resposta correta é a alternativa b) 4√3.