8. (ITA 2014) Um recipiente contém um gás monoatômico ideal inicialmente no estado L, com pressão p e volume V. O gás é submetido a uma transformaç...

Para resolver esse problema, é necessário aplicar a primeira lei da termodinâmica para um processo cíclico, que é dada por: ΔU = Q - W Onde ΔU é a variação da energia interna do gás, Q é a quantidade de calor adicionada ao gás e W é o trabalho realizado pelo gás. Para um processo cíclico, a variação da energia interna é zero, pois o gás retorna ao seu estado inicial. Portanto, temos: 0 = Q1 - W1 + Q2 - W2 O trabalho realizado pelo gás é dado pela área do ciclo no diagrama pV. Como o gás é monoatômico, temos: W1 = (3/2)pV e W2 = (1/2)pV Substituindo na equação acima, temos: 0 = Q1 - (3/2)pV + Q2 - (1/2)pV Simplificando, temos: Q1 - Q2 = pV/2 Sabemos que o gás absorve uma quantidade de calor Q1 da fonte quente e cede uma quantidade de calor Q2 para a fonte fria. Portanto, temos: Q1 = Q2 + pV/2 A eficiência térmica do ciclo é dada por: η = 1 - Q2/Q1 Como o ciclo é reversível, a eficiência térmica é dada por: η = 1 - T2/T1 Onde T1 é a temperatura da fonte quente e T2 é a temperatura da fonte fria. Como o gás é ideal, podemos usar a equação dos gases ideais para relacionar a pressão, o volume e a temperatura: pV = nRT Onde n é o número de mols do gás e R é a constante dos gases ideais. Como o gás é monoatômico, temos: Cv = (3/2)R e Cp = (5/2)R Portanto, a relação entre o calor específico a volume constante e o calor específico a pressão constante é dada por: Cp/Cv = γ Onde γ é a razão entre os calores específicos. Para um gás monoatômico, temos γ = 5/3. Substituindo na equação dos gases ideais, temos: pV = (n/γ)RT Portanto, podemos escrever: pV/T = nR/γ Como o gás é ideal, a quantidade de calor adicionada é dada por: Q1 = nCvΔT Onde ΔT é a variação da temperatura do gás. Substituindo na equação acima, temos: Q1 = (3/2)nRΔT Da mesma forma, a quantidade de calor cedida é dada por: Q2 = (1/2)nRΔT Substituindo na equação da eficiência térmica, temos: η = 1 - T2/T1 = 1 - Q2/Q1 = 1 - (1/3) Portanto, temos: T2/T1 = 2/3 Substituindo na equação da quantidade de calor adicionada, temos: Q1 = (3/2)nRΔT = (3/2)nR(T1 - T2) Substituindo na equação da quantidade de calor cedida, temos: Q2 = (1/2)nRΔT = (1/2)nR(T1 - T2)/2 Substituindo na equação Q1 = Q2 + pV/2, temos: (3/2)nR(T1 - T2) = (1/2)nR(T1 - T2)/2 + pV/2 Simplificando, temos: T1 - T2 = pV/3R Substituindo na equação da quantidade de calor adicionada, temos: Q1 = (3/2)nR(T1 - T2) = (3/2)nRpV/3R = (1/2)pV Portanto, a alternativa correta é a letra E.