4. Seja ???????? a circunferência tangente às retas r : x 2y 4 0+ − = e s : 2x y 4 0+ + = , e que passa pelos pontos ( )P 2,1 e ( )Q 2, 3− . Determin...

a) A equação reduzida da circunferência γ é: (x - 2)² + (y - 1)² = 5. b) Para encontrar o centro da circunferência, podemos usar o fato de que ele está na mediatriz do segmento PQ, que é perpendicular a r e s. A mediatriz passa pelo ponto médio de PQ, que é M(2, 2). A inclinação de r é -1/2, então a inclinação da reta perpendicular a r é 2. A equação dessa reta é y - 2 = 2(x - 2), ou seja, y = 2x - 2. A inclinação de s é -2, então a inclinação da reta perpendicular a s é 1/2. A equação dessa reta é y - 2 = 1/2(x - 2), ou seja, y = 1/2x + 1. A intersecção dessas duas retas é o ponto C(4/3, 8/3). A distância entre M e C é d = √[(4/3 - 2)² + (8/3 - 2)²] = √10/3. O raio da circunferência é a mesma distância, então r = √10/3. A área do triângulo é A = (1/2) * r * d = (1/2) * √10/3 * √10/3 = 5/6. Portanto, a área do triângulo é 5/6.