(Ita 2019) Um cone circular reto, de altura h, e um cilindro circular reto têm bases de mesmo raio. O volume do cone é metade do volume do cilindr...

Vamos lá! Seja r o raio da base do cone e do cilindro. O volume do cone é dado por Vc = (1/3) * pi * r^2 * h. O volume do cilindro é dado por Vc = pi * r^2 * h. Sabemos que o volume do cone é metade do volume do cilindro, então: (1/3) * pi * r^2 * h = (1/2) * pi * r^2 * h Simplificando, temos: r^2 = (3/2) * h A área lateral do cone é igual à área lateral do cilindro, então: pi * r * Lc = 2 * pi * r * Lc Simplificando, temos: Lc = 2 * r A esfera inscrita no cone tem raio R e está contida no cilindro inscrito no cone. O raio do cilindro inscrito no cone é igual ao raio da base do cone, ou seja, r. A altura do cilindro inscrito no cone é igual a 2R, pois a esfera está inscrita no cone. Assim, temos: 2 * pi * R * r = pi * r^2 * h Substituindo r^2 por (3/2) * h, temos: 2 * pi * R * r = pi * (3/2) * h * r Simplificando, temos: R = (3/4) * h Portanto, o raio da esfera inscrita no cone é (3/4) * h.