46. Um dos catetos de um triângulo retângulo mede √2/3 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é ???? cm3. ...

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo retângulo em torno da hipotenusa, é necessário utilizar o método de discos ou de arruelas. Considerando o método de discos, o raio do disco é igual à medida do cateto que não está sendo rotacionado, ou seja, o cateto oposto ao ângulo que está sendo considerado. Nesse caso, o raio é √2/3 cm. Para encontrar a área do disco, é necessário calcular a medida da altura do triângulo retângulo em relação à hipotenusa. Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos: h² = (hipotenusa)² - (cateto)² h² = 1² - (√2/3)² h² = 1 - 2/9 h² = 7/9 h = √7/3 Assim, a área do disco é: A = πr² A = π(√2/3)² A = 2π/9 O volume do sólido é dado pela soma das áreas dos discos, desde a base até o topo do sólido. Como a hipotenusa tem comprimento 1, a altura do sólido é 1. Portanto, o volume é: V = ∫(0 até 1) A(x) dx V = ∫(0 até 1) 2π/9 dx V = 2π/9 * x | de 0 até 1 V = 2π/9 Para determinar os ângulos do triângulo retângulo, é possível utilizar as razões trigonométricas. Como um dos catetos mede √2/3, temos: sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa sen(θ) = √2/3 / 1 sen(θ) = √2/3 θ = arcsen(√2/3) θ ≈ 54,74° Portanto, um dos ângulos do triângulo retângulo é de aproximadamente 54,74°. O outro ângulo é o complementar desse valor, ou seja, 35,26°.