11. (Fuvest 1991) No estudo do Cálculo Diferencial e Integral, prova-se que a função cos x (cosseno do ângulo de x radianos) satisfaz a desigualda...

a) Para calcular o cosseno de 0,3 radianos usando f(x) como aproximação de cos x, basta substituir x = 0,3 na expressão de f(x): cos(0,3) ≈ 1 - (0,3^2/2) = 1 - 0,045 = 0,955 b) Para provar que o erro na aproximação anterior é inferior a 0,001, precisamos usar o Teorema do Valor Médio para funções diferenciáveis. Seja h(x) = cos(x) - f(x), então h(0) = cos(0) - f(0) = 0 e h'(x) = -sen(x) + x/12. Como |h'(x)| ≤ 1/4 para todo x em [0, 0.3], temos: |h(x)| ≤ |h(0)| + |h'(x)|*|x-0| ≤ 0 + (1/4)*0,3 = 0,075 Portanto, o erro na aproximação é inferior a 0,075. Como queremos que seja inferior a 0,001, podemos concluir que o valor calculado é exato até a segunda casa decimal.