19. (Fuvest 2018) Considere as funções  f : , 1,1 2 2 π π        e    g : 0, 1,1π   definidas por f(x) sen x e g(x) cos x. S...

a) Para 0 ≤ α ≤ 1, mostre que 1 - 2(g o f)(α) = α - 1. Para mostrar isso, vamos começar com a expressão (g o f)(α) e trabalhar a partir dela. Temos: (g o f)(α) = g(f(α)) = g(sen(π(α - 1))) = cos(π(α - 1)) Agora, vamos substituir essa expressão na equação 1 - 2(g o f)(α) = α - 1: 1 - 2(g o f)(α) = α - 1 1 - 2cos(π(α - 1)) = α - 1 2cos(π(α - 1)) = 2 - α cos(π(α - 1)) = (2 - α)/2 Agora, vamos usar a identidade trigonométrica cos(π/2 - x) = sen(x) para reescrever a expressão acima em termos de seno: cos(π(α - 1)) = (2 - α)/2 cos(π/2 - π(α - 1)/2) = (2 - α)/2 sen(π(α - 1)/2) = (2 - α)/2 Finalmente, vamos substituir essa expressão na equação original: 1 - 2(g o f)(α) = α - 1 1 - 2cos(π(α - 1)) = α - 1 1 - 2sen(π(α - 1)/2) = α - 1 2sen(π(α - 1)/2) = 2 - α sen(π(α - 1)/2) = (2 - α)/2 Isso mostra que 1 - 2(g o f)(α) = α - 1 para 0 ≤ α ≤ 1. b) Mostre que 1/11 < (6/π) * (f o g)(2/4) + 4/π^2 < 1/6. Para mostrar isso, vamos começar com a expressão (f o g)(2/4) e trabalhar a partir dela. Temos: (f o g)(2/4) = f(g(2/4)) = f(cos(π/2)) = sen(π/2) = 1 Agora, vamos substituir essa expressão na equação (6/π) * (f o g)(2/4) + 4/π^2: (6/π) * (f o g)(2/4) + 4/π^2 = (6/π) * 1 + 4/π^2 = 6/π + 4/π^2 = (6π + 4)/π^2 Para mostrar que isso está entre 1/11 e 1/6, vamos comparar com esses valores: 1/11 < (6π + 4)/π^2 < 1/6 6π + 4 < π^2/11 < 6π 66π + 44 < π^2 < 66π 214.2 < π^2 < 207.3 Como π^2 está entre 214.2 e 207.3, podemos concluir que (6/π) * (f o g)(2/4) + 4/π^2 está entre 1/11 e 1/6.