(Esc. Naval 2013) A soma das soluções da equação trigonométrica   cos3x cos2x cosx 1 no intervalo  0,2 ,π é a) 8π b) 6π c) 8 3 π d...

Podemos resolver essa equação trigonométrica utilizando a identidade trigonométrica: cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB Podemos reescrever a equação original como: cos(3x)cos(x) - cos(2x)cos(x) + 1 = 0 Aplicando a identidade trigonométrica, temos: cos(3x+x) - cos(x+2x) + 1 = 0 cos(4x) - cos(3x) + 1 = 0 Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica: cos(A) - cos(B) = -2sen((A+B)/2)sen((A-B)/2) Para obter: -2sen(7x/2)sen(x/2) + 1 = 0 sen(7x/2)sen(x/2) = 1/2 Podemos resolver essa equação utilizando a identidade trigonométrica: sen(A)sen(B) = (cos(A-B) - cos(A+B))/2 Para obter: (cos(3x) - cos(4x))/2 = 1/2 cos(3x) - cos(4x) = 1 Podemos utilizar novamente a identidade trigonométrica: cos(A) - cos(B) = -2sen((A+B)/2)sen((A-B)/2) Para obter: -2sen(7x/2)sen(-x/2) = 1 sen(7x/2)sen(x/2) = -1/2 Podemos resolver essa equação utilizando a identidade trigonométrica: sen(A)sen(B) = (cos(A-B) - cos(A+B))/2 Para obter: (cos(3x) + cos(2x))/2 = -1/2 cos(3x) + cos(2x) = -1 Agora, podemos utilizar novamente a identidade trigonométrica: cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) Para obter: 2cos(5x/2)cos(-x/2) = -1 cos(5x/2)cos(x/2) = -1/2 Podemos resolver essa equação utilizando a identidade trigonométrica: cos(A)cos(B) = (cos(A+B) + cos(A-B))/2 Para obter: (cos(3x) + cos(2x) + cos(4x))/2 = -1/2 cos(3x) + cos(2x) + cos(4x) = -1 Agora, podemos somar as soluções da equação original no intervalo [0, 2π]: x1 + x2 + ... + xn = (2kπ + π)/7 + (2kπ + 2π)/7 + ... + (2kπ + 6π)/7 x1 + x2 + ... + xn = (14kπ + 28π)/7 x1 + x2 + ... + xn = 4πk + 4π Portanto, a soma das soluções da equação trigonométrica no intervalo [0, 2π] é 4πk + 4π, onde k é um número inteiro. Como o intervalo é [0, π], temos que k = 1, e a soma das soluções é 8π. Portanto, a alternativa correta é a letra a) 8π.