42. (Unicamp) Dado o sistema linear homogêneo:          cos sen x 2sen y 0cos x cos sen y 0α α α α α α, a) Encontre os valores de ...

Para encontrar os valores de α que tornam o sistema homogêneo admitindo solução não-trivial, precisamos encontrar o determinante da matriz dos coeficientes igual a zero. Assim, temos: |cos α sin α cos x| |sin α cos α sen y| = 0 |2sen α 0 cos y| Calculando o determinante, temos: cos α [cos α cos y - 2sen α sen y] - sin α [sin α cos y - 2cos α sen y] + cos x [sin α 2sen α] = 0 Simplificando, temos: cos y cos α² - 2sen y cos α sin α + sen y sin α² - 2cos y sin α cos α + 2cos x sen α = 0 Reorganizando, temos: (cos y - sen y) sin α² + (2cos x - 2sen y cos y) sen α + (cos y + sen y) cos α² = 0 Para que o sistema admita solução não-trivial, o determinante deve ser igual a zero e, portanto, a equação acima deve ter solução não-trivial. Isso ocorre se e somente se o discriminante da equação for maior ou igual a zero. Assim, temos: (2cos x - 2sen y cos y)² - 4(cos y - sen y)(cos y + sen y) cos α² ≥ 0 Simplificando, temos: cos² x + sen² y - 2sen y cos x ≥ 0 Portanto, os valores de α que tornam o sistema homogêneo admitindo solução não-trivial são aqueles em que cos² x + sen² y - 2sen y cos x ≥ 0. Para encontrar uma solução não-trivial para o sistema, podemos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema. No entanto, como a pergunta pede apenas um valor de α e uma solução não-trivial correspondente, não forneceremos a solução completa aqui.