(Epcar (Afa) 2017) A função real f definida por xf(x) a 3 b,=  + sendo a e b constantes reais, está graficamente representada abaixo. Pode-se...

Para encontrar o produto (a b), precisamos analisar o gráfico da função f(x). Podemos observar que a reta tangente à curva da função no ponto x = 1 tem inclinação 3. Isso significa que a derivada da função no ponto x = 1 é igual a 3. Podemos calcular a derivada da função f(x) utilizando a regra do produto: f(x) = ax^3 + bx f'(x) = 3ax^2 + b Substituindo x = 1, temos: f'(1) = 3a + b = 3 Também sabemos que a reta tangente à curva da função no ponto x = 4 tem inclinação 15. Isso significa que a derivada da função no ponto x = 4 é igual a 15. Substituindo x = 4, temos: f'(4) = 48a + b = 15 Agora podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a e b: 3a + b = 3 48a + b = 15 Subtraindo a primeira equação da segunda, temos: 45a = -12 a = -12/45 = -4/15 Substituindo a em uma das equações, temos: 3(-4/15) + b = 3 b = 17/5 Portanto, o produto (a b) é igual a: (a b) = (-4/15) * (17/5) = -68/75 Podemos ver que -68/75 pertence ao intervalo real [−4; −1[, portanto, a alternativa correta é a letra A).