13. (Uefs 2017) Considerando-se que o polinômio ????(????) = ????3 + ????????2 + ???????? + ???? tem 1 como raiz dupla e 3 como raiz simples, é correto afirmar qu...

Para encontrar o resto da divisão de um polinômio por outro, podemos utilizar o Teorema do Resto. Para isso, basta substituir o valor oposto ao divisor na equação e realizar as operações indicadas. No caso, o divisor é (x + 1) e o oposto é -1. Então, temos: (-1)³ + a(-1)² + b(-1) + c = -1 + a - b + c Sabemos que 1 é raiz dupla, então podemos escrever o polinômio como: p(x) = (x - 1)²(x - 3) Multiplicando os fatores, temos: p(x) = (x² - 2x + 1)(x - 3) = x³ - 5x² + 7x - 3 Agora, substituindo -1 na equação do Teorema do Resto, temos: -1 + a - b + c = r Sabemos que 1 é raiz dupla, então: p(1) = 0 Substituindo na equação, temos: 1 - 2a + b + c = 0 Sabemos também que 3 é raiz simples, então: p(3) = 0 Substituindo na equação, temos: 27 - 15a + 7b - 3c = 0 Agora, podemos montar um sistema com as três equações: 1 - 2a + b + c = r 1 - 2a + b + c = 0 27 - 15a + 7b - 3c = 0 Resolvendo o sistema, encontramos: a = 2 b = -8 c = 10 r = -18 Portanto, a alternativa correta é a letra b) -18.