(Unicamp 2018) Sejam ???? e ???? números reais não nulos. Se o número complexo ???? = ???? + ???????? é uma raiz da equação quadrática ????2 + ???????? + ???? = 0, en...

Se o número complexo ???? = ???? + ???????? é uma raiz da equação quadrática ????2 + ???????? + ???? = 0, então: Sabemos que uma equação quadrática pode ser escrita como: ax² + bx + c = 0 Substituindo pelos valores dados na questão, temos: z² + pz + q = 0 Onde z é o número complexo dado na questão, p é o coeficiente de z e q é o termo constante. Assim, temos: z² + pz + q = 0 (???? + ????????)² + p(???? + ????????) + ???? = 0 ????² + 2???????? + ????????² + p???? + p???????? + ???? = 0 (????² - ????????) + p???? + (????????² + ???? ) = 0 Como z é uma raiz da equação, temos: (????² - ????????) + p???? + (????????² + ???? ) = 0 Sabemos que a parte real de z é ???? e a parte imaginária é ????????, então: ????² - ???????? = ???? ????????² + ???? = ???? Elevando ao quadrado ambos os lados das equações, temos: (????² - ????????)² = ????² (????????² + ???? )² = ????² Somando as duas equações, temos: (????² - ????????)² + (????????² + ???? )² = ????² + ????² Simplificando, temos: ????² + 2???????? + ????????² + ????² = 2????² + 2????????² Substituindo pelos valores dados na questão, temos: ????² + 2???????? + ????????² + ????² = 2????² + 2????????² ????² + 2???????? + ????????² + ????² = 2(????² + ????????²) ????² + 2???????? + ????????² + ????² = 2|z|² Sabemos que |z| é o módulo de z, então: ????² + 2???????? + ????????² + ????² = 2|z|² (???? + ????????)² = 2|z|² |z|² = (???? + ????????)²/2 Substituindo pelos valores dados na questão, temos: |z|² = (???? + ????????)²/2 |z|² = (????² + 2???????? + ????????²)/2 |z|² = (????² + ????????²)/2 + ???????? |z|² = (????² + ????????²)/2 + p/2 Sabemos que p é o coeficiente de z na equação quadrática, então: p = ????????? Substituindo na equação anterior, temos: |z|² = (????² + ????????²)/2 + ????????/2 Substituindo pelos valores das alternativas, temos: a) |????| = 1√3. |z|² = (1² + (√3)²)/2 + √3/2 |z|² = (1 + 3)/2 + √3/2 |z|² = 2 + √3/2 |z|² = 4 + √3 |z| = √(4 + √3) |z| ≈ 2,15 b) |????| = 1√5. |z|² = (1² + (√5)²)/2 + √5/2 |z|² = (1 + 5)/2 + √5/2 |z|² = 3 + √5/2 |z|² = 6 + √5 |z| = √(6 + √5) |z| ≈ 2,30 c) |????| = √3. |z|² = (√3)² + 3/2 |z|² = 3/2 + 3/2 |z|² = 3 |z| = √3 d) |????| = √5. |z|² = (5)²/2 + 5/2 |z|² = 25/2 + 5/2 |z|² = 15 |z| = √15 Portanto, a alternativa correta é a letra B) |z| = √(6 + √5).