16. (Unicamp 2018) Sejam ???? e ???? números reais não nulos. Se o número complexo ???? = ???? + ???????? é uma raiz da equação quadrática ????2 + ???????? + ???? ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática. Sabemos que uma das raízes é o número complexo ???? = ???? + ????????, então podemos escrever a equação na forma fatorada como: (???? - ????)(???? - (???? + ????????)) = 0 Expandindo a equação, temos: ????2 - (???? + ????????)???? + ????*???????? = 0 Comparando com a equação quadrática dada, temos: a = 1 b = -(???? + ????????) c = ????*???????? Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: ???? = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a Substituindo os valores, temos: ???? = (???? + ????????) / 2 ou ???? = (???? - ????????) / 2???????? Sabemos que a primeira raiz é o número complexo ???? = ???? + ????????, então podemos igualar as partes reais e imaginárias das duas equações para encontrar os valores de ???? e ????: Parte real: ???? = (???? + ????)/2 Parte imaginária: ???????? = (???? - ????)/2???????? Elevando ao quadrado a equação da parte real e substituindo na equação da parte imaginária, temos: (???? - ????/2)2 + ????????2/4 = ????2 Simplificando, temos: ????2 - ????*???? + ????????2/4 = 0 Sabemos que essa equação tem uma raiz igual a ???? (pois ???? é uma das raízes da equação quadrática dada), então podemos escrever: (???? - ????/2)2 + ????????2/4 = (???? - ????)(???? - ????) Expandindo a equação, temos: ????2 - ????*???? + ????????2/4 = ????2 - ????*???? + ????*???????? Simplificando, temos: ???????2 = 4????*???????? Substituindo os valores de a, b e c, temos: ???????2 = 4*????*???????? Simplificando, temos: ??????? = 2*|????| Portanto, a alternativa correta é a letra E) |????| = √5.