(R) → P2(R) definida por T (ax2 + bx+ c) = cx2 + (a− b)x− c. a) Determine o KerT , sua base e dimensão. b) Determine o ImT , sua base e dimensa...

a) Para determinar o KerT, precisamos encontrar todos os polinômios p(x) em P2(R) que são mapeados em 0 por T. Então, temos: T(ax² + bx + c) = cx² + (a - b)x - c = 0x² + 0x + 0 Isso implica que: c = 0 a - b = 0 Assim, o KerT é o conjunto de todos os polinômios da forma p(x) = ax² + ax, onde a é um número real. A base do KerT é {x² + x} e sua dimensão é 1. b) Para determinar o ImT, precisamos encontrar todos os polinômios q(x) em P2(R) que são da forma T(p(x)) para algum p(x) em P2(R). Então, temos: T(ax² + bx + c) = cx² + (a - b)x - c Assim, o ImT é o conjunto de todos os polinômios da forma q(x) = cx² + (a - b)x - c, onde a, b e c são números reais. A base do ImT é {x², x, -1} e sua dimensão é 3. c) Para verificar se T é um isomorfismo, precisamos verificar se T é injetora e sobrejetora. Como a dimensão do domínio é 3 e a dimensão do contradomínio é 3, T é injetora se e somente se T é sobrejetora. Como a base do ImT tem dimensão 3, T é sobrejetora e, portanto, é um isomorfismo.