Questão 1. Considere a transformação linear T : P2(R) → P2(R) definida por T (ax2 + bx+ c) = cx2 + (a− b)x− c. a) Determine o KerT , sua base ...

a) Para encontrar o KerT, precisamos encontrar o polinômio p(x) tal que T(p(x)) = 0. Então, temos: T(ax² + bx + c) = cx² + (a - b)x - c = 0x² + 0x + 0 Assim, temos o sistema de equações: c = 0 a - b = 0 -c = 0 Que nos dá a solução a = b e c = 0. Portanto, o KerT é o conjunto de todos os polinômios da forma p(x) = ax² + ax, onde a é um número real. A base do KerT é {x² + x} e sua dimensão é 1. b) Para encontrar o ImT, precisamos encontrar todos os polinômios q(x) que podem ser escritos na forma T(p(x)), para algum p(x) em P2(R). Então, temos: T(ax² + bx + c) = cx² + (a - b)x - c Podemos reescrever isso como: cx² + (a - b)x - c = a(cx² + bx + c) + b(-cx² - bx) Assim, qualquer polinômio q(x) em ImT pode ser escrito como: q(x) = cx² + (a - b)x - c = aT(x² + x) + bT(-x² - x) Portanto, ImT é o conjunto de todos os polinômios da forma q(x) = cx² + (a - b)x - c, onde a, b e c são números reais. A base de ImT é {x², x, 1} e sua dimensão é 3. c) T não é um isomorfismo, pois a dimensão de KerT é diferente da dimensão de P2(R). Além disso, podemos ver que T não é injetora, pois existem polinômios diferentes em P2(R) que têm a mesma imagem em ImT. Por exemplo, T(x²) = T(-x² - 2x) = 0x² - 2x + 0.