Questão 4. Se R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x). a) Determine [RoS] b) Determine [SoR] c) Obtenha uma base a a dimensão pa...

a) Para calcular [RoS], precisamos multiplicar a matriz de R pela matriz de S. Como R é 2x3 e S é 3x2, o produto não é possível. Portanto, [RoS] não existe. b) Para calcular [SoR], precisamos multiplicar a matriz de S pela matriz de R. Temos: ``` [SoR] = [y - z, z - x] * [2x, x - y, y] = [2xy - 2xz, -x^2 + xy + y^2 - yz, -xy + xz + y^2 - yz] ``` c) Para encontrar a base e a dimensão do núcleo de [RoS], precisamos resolver o sistema homogêneo (RoS)x = 0. Temos: ``` 2x + (x - y)(y - z) = 0 x - y = 0 y = 0 ``` A solução desse sistema é x = y = z = 0. Portanto, a base do núcleo é o vetor nulo e a dimensão é 0. Para encontrar a base e a dimensão do núcleo de [SoR], precisamos resolver o sistema homogêneo (SoR)x = 0. Temos: ``` 2xy - 2xz = 0 -x^2 + xy + y^2 - yz = 0 -xy + xz + y^2 - yz = 0 ``` Podemos reescrever o segundo e o terceiro termos como (x - y)y e (x - y)z, respectivamente. Então, podemos fatorar o primeiro termo e obter: ``` 2x(y - z) = 0 (x - y)y + (y - z)(y - x) = 0 (x - y)z = 0 ``` As soluções desse sistema são x = y, y = z e x = z. Portanto, a base do núcleo é o conjunto { (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1) } e a dimensão é 3. d) Para encontrar a base e a dimensão da imagem de [RoS], precisamos encontrar as coordenadas dos vetores da base canônica de R que são transformados por S. Temos: ``` S(1, 0, 0) = (0, 0) S(0, 1, 0) = (-1, 1) S(0, 0, 1) = (1, -1) ``` Portanto, a base da imagem de [RoS] é o conjunto { (0, 0), (-1, 1), (1, -1) } e a dimensão é 3. Para encontrar a base e a dimensão da imagem de [SoR], precisamos encontrar as coordenadas dos vetores da base canônica de S que são transformados por R. Temos: ``` R(1, 0) = (2, 1) R(0, 1) = (0, -1) ``` Portanto, a base da imagem de [SoR] é o conjunto { (2, 1), (0, -1) } e a dimensão é 2. e) Para verificar se [RoS] e [SoR] são isomorfismos, precisamos verificar se são injetoras, sobrejetoras e se têm inversas. Como [RoS] não existe, não podemos afirmar nada sobre ele. Para [SoR], podemos verificar que é injetora, pois o núcleo tem dimensão 0. No entanto, não é sobrejetora, pois a dimensão da imagem é 2 e a dimensão do contradomínio é 3. Portanto, [SoR] não é um isomorfismo. Não é possível obter a transformação inversa de [SoR], pois ela não é sobrejetora.