Questão 5. Sejam {v1, v2, ..., vn} vetores em um espaço vetorial V e seja T : V → W uma transformação linear. a) {T (v1), T (v2), ..., T (vn)}...

a) Para provar que {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente em V, devemos mostrar que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial. Se {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é linearmente independente em W, então a única combinação linear que resulta no vetor nulo em W é a combinação linear trivial. Como T é uma transformação linear, temos que T(0) = 0, onde 0 é o vetor nulo em V. Portanto, se a combinação linear de {v1, v2, ..., vn} resultar em 0, então a combinação linear de {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} também resultará em 0. Mas como {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} é linearmente independente em W, a combinação linear de {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} que resulta em 0 é a combinação linear trivial. Portanto, a combinação linear de {v1, v2, ..., vn} que resulta em 0 também é a combinação linear trivial, o que significa que {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente em V. b) A recíproca do item (a) é falsa. Um exemplo de uma transformação T : R2 → R2 que ilustra essa afirmação é T(x, y) = (x, 0). Seja {(1, 0), (0, 1)} a base canônica de R2. Essa base é linearmente independente em R2, mas T(1, 0) = (1, 0) e T(0, 1) = (0, 0), o que significa que {T(1, 0), T(0, 1)} não é linearmente independente em R2. c) Para determinar se T é um isomorfismo, precisamos verificar se T é injetora e sobrejetora. T é injetora se e somente se o núcleo de T é o vetor nulo em V. T é sobrejetora se e somente se a imagem de T é todo o espaço vetorial W. Se {v1, v2, ..., vn} é uma base de V, então {T(v1), T(v2), ..., T(vn)} é um conjunto gerador de W, pois T é uma transformação linear. Além disso, se {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente em V, então {T(v1), T(v2), ..., T(vn)} é linearmente independente em W, como mostrado no item (a). Portanto, {T(v1), T(v2), ..., T(vn)} é uma base de W. Isso significa que T é um isomorfismo se e somente se V e W têm a mesma dimensão.