Para encontrarmos a relação pedida, devemos realizar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & T(u+v)=T(u)+T(v) \\ & T(kv)=kv \\ & \\ & T(2{{v}_{1}}-3{{v}_{2}}+4{{v}_{3}})=2T({{v}_{1}})-3T({{v}_{2}})+4T({{v}_{3}}) \\ & 2T({{v}_{1}})-3T({{v}_{2}})+4T({{v}_{3}})=2(1,-1,2)-3(0,3,2)+4(-3,1,2) \\ & 2T({{v}_{1}})-3T({{v}_{2}})+4T({{v}_{3}})=(2,-2,4)-(0,9,6)+(-12,4,8) \\ & 2T({{v}_{1}})-3T({{v}_{2}})+4T({{v}_{3}})=(-10,-7,6) \\ \end{align}\ \\ T\left( 2V1-3V2+4v3 \right)=(-10,-7,6) \)

Portanto, através do uso das propriedades aritméticas de transformação linear, podemos concluis que \(\boxed{T\left( {2V1 - 3V2 + 4v3} \right) = ( - 10, - 7,6)}\).