Questão 05. Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} bases de R2 e R3 respectivamente. Considere a matriz [T ]αβ =  ...

a) Para encontrar a expressão de T(x,y), precisamos primeiro encontrar a matriz de transformação T em relação à base canônica de R2. Para isso, basta aplicar T aos vetores da base canônica e escrever os resultados como combinações lineares dos vetores da base β. Temos: T(1,0) = (2,4,0) = 2(1,1,0) + 4(0,0,-1) + 0(1,0,1) T(0,1) = (0,0,-4) = 0(1,1,0) + 0(0,0,-1) + (-4)(1,0,1) Portanto, a matriz de transformação T em relação à base β é: [T]β =  2 0
4 0
0 −4

 Para encontrar a expressão de T(x,y) em relação à base α, basta aplicar a matriz de mudança de base de α para β e depois a matriz de transformação T em relação à base β. Temos: [T]αβ = [I]βα[T]β[I]αβ Onde [I]βα é a matriz de mudança de base de β para α. Para encontrá-la, basta resolver o sistema linear: (I)β = [I]αβ(I)α Onde (I)β e (I)α são as matrizes cujas colunas são os vetores das bases β e α, respectivamente. Temos: (I)β =  1 0 1
1 0 0
0 −1 1

 (I)α =  0 2
2 −1

 Logo, [I]αβ = (I)β^(-1)(I)α =  1 0 −1
1 0 2
1 −1 1

 Substituindo na fórmula acima, temos: [T]αβ =  2 0
4 0
0 −4

 [T]αβ = [I]βα[T]β[I]αβ [T]αβ =  1 0 −1
1 0 2
1 −1 1

  2 0
4 0
0 −4

  0 2
2 −1

 [T]αβ =  0 8
−4 −8

−4 4

 Portanto, a expressão de T(x,y) em relação à base α é: T(x,y) = (0,8)x + (−4,−8)y + (−4,4)(x,y) b) Para encontrar uma base para kerT, precisamos resolver a equação T(x,y) = (0,0). Substituindo a expressão de T(x,y) encontrada no item a), temos: (0,8)x + (−4,−8)y + (−4,4)(x,y) = (0,0) Isso nos dá o sistema linear: −4x + 2y = 0 −2x − 4y = 0 Resolvendo, obtemos: x = −2y Portanto, kerT é gerado pelo vetor (−2,1). Como kerT é um subespaço vetorial de R2, uma base para kerT é dada por qualquer conjunto de vetores linearmente independentes que geram kerT. Assim, uma possível base para kerT é {(−2,1)}. Para encontrar a dimensão de kerT, basta contar o número de vetores na base encontrada. Nesse caso, dim(kerT) = 1. Para encontrar uma base para ImT, basta aplicar T aos vetores da base canônica de R2 e escrever os resultados como combinações lineares dos vetores da base β. Temos: T(1,0) = (2,4,0) = 2(1,1,0) + 4(0,0,-1) + 0(1,0,1) T(0,1) = (0,0,-4) = 0(1,1,0) + 0(0,0,-1) + (-4)(1,0,1) Portanto, ImT é gerado pelos vetores (1,1,0), (0,0,-1) e (1,0,1). Como ImT é um subespaço vetorial de R3, uma base para ImT é dada por qualquer conjunto de vetores linearmente independentes que geram ImT. Assim, uma possível base para ImT é {(1,1,0), (0,0,-1), (1,0,1)}. Para encontrar a dimensão de ImT, basta contar o número de vetores na base encontrada. Nesse caso, dim(ImT) = 3.