Para encontrar as raízes cúbicas de 8, primeiro expressamos 8 na forma polar. O número 8 pode ser escrito como \(8 = 8 \text{cis}(0)\), onde "cis" é uma abreviação para \(\cos + i\sin\). As raízes cúbicas de um número complexo na forma polar são dadas por: \[ r^{1/3} \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right) \] onde \(k = 0, 1, 2\). Para \(8\): - \(r = 8\) e \(\theta = 0\). - Portanto, \(r^{1/3} = 2\). Agora, calculamos as raízes para \(k = 0, 1, 2\): 1. Para \(k = 0\): \[ 2 \text{cis}\left(\frac{0 + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}\right) = 2 \text{cis}(0) = 2 \] 2. Para \(k = 1\): \[ 2 \text{cis}\left(\frac{0 + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 2 \left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2 \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3} \] 3. Para \(k = 2\): \[ 2 \text{cis}\left(\frac{0 + 2 \cdot 2 \cdot \pi}{3}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 - i\sqrt{3} \] Agora, analisando as alternativas: A) \(2 \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\) não é uma raiz cúbica de 8. B) \(2 \cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\) é igual a \(-1 + i\sqrt{3}\), que é uma raiz cúbica de 8. C) \(2.2 \cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\) não é uma raiz cúbica de 8. D) \(2 \cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\) é a mesma que a alternativa B. Portanto, a alternativa correta é: B) 2 \cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}.