20. No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra “MATEMÁTICA”, partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo?

Para resolver essa questão, precisamos entender que a palavra "MATEMÁTICA" tem 10 letras. Para formar a palavra a partir de um "M" e indo sempre para a direita ou para baixo, podemos imaginar uma grade onde temos que fazer movimentos. A palavra "MATEMÁTICA" pode ser representada em uma grade 4x3 (4 linhas e 3 colunas), onde o "M" está na posição inicial (0,0) e as outras letras estão distribuídas nas posições seguintes. Para chegar ao final da palavra, precisamos fazer 9 movimentos (sendo 4 para baixo e 5 para a direita, ou vice-versa). O número total de maneiras de organizar esses movimentos é dado pela fórmula de combinações: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] onde \( n \) é o total de movimentos e \( k \) é o número de movimentos em uma direção. Neste caso, temos 9 movimentos no total (4 para baixo e 5 para a direita): \[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!5!} = 126 \] Portanto, existem 126 modos de formar a palavra "MATEMÁTICA" partindo de um "M" e indo sempre para a direita ou para baixo.