10. (Olimpíada Brasileira/99) Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está em um ponto A de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atingir um pont...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Adição e o Princípio da Multiplicação. Primeiro, vamos utilizar o Princípio da Adição para encontrar as possibilidades de saltos que o gafanhoto pode fazer para chegar a 5 metros de distância. Como ele só pode pular 1 metro por vez, ele pode fazer isso de 5 maneiras diferentes: 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1 e 2+1+1+1. Agora, vamos utilizar o Princípio da Multiplicação para encontrar as possibilidades de saltos que o gafanhoto pode fazer em cada uma dessas 5 maneiras. Como ele precisa dar exatamente 9 pulos, podemos pensar em cada salto como uma letra "P" (de pulo) e cada espaço entre os saltos como uma letra "E" (de espaço). Por exemplo, a sequência 1+1+1+2 seria representada como PPPPEPPPPEPP. Assim, para cada uma das 5 maneiras de chegar a 5 metros de distância, precisamos encontrar todas as possibilidades de colocar 4 letras "E" em uma sequência de 8 letras "P" e "E". Isso pode ser feito utilizando o Princípio da Combinação, que nos diz que o número de combinações de "n" elementos tomados "k" a "k" é dado por n!/k!(n-k)!. Nesse caso, temos n = 8 e k = 4, então o número de combinações é dado por 8!/4!(8-4)! = 70. Portanto, o número total de maneiras que o gafanhoto pode chegar a 5 metros de distância com exatamente 9 pulos é dado por 5 x 70 = 350. A alternativa correta é a letra E).