Questão 3 [3,0 pontos] Considere o ponto A = (−4, 5) e a reta r1 : −x + 2y − 4 = 0 para responder as seguintes questões. (a) [1,0 ponto] Encontre...

(a) Para encontrar a equação paramétrica da reta r2 que é perpendicular à reta r1 e passa pelo ponto A, precisamos primeiro encontrar o vetor diretor da reta r1. Podemos reescrever a equação da reta r1 como y = (1/2)x + 2, o que significa que o vetor diretor é (2, 1/2). O vetor diretor da reta r2 será então perpendicular a esse vetor, então podemos escolher (1/2, -2) como vetor diretor da reta r2. Usando o ponto A = (-4, 5) e o vetor diretor (1/2, -2), podemos escrever as equações paramétricas da reta r2 como x = -4 + (1/2)t e y = 5 - 2t. Para encontrar o ponto Q = r1 ∩ r2, podemos resolver o sistema formado pelas equações de r1 e r2. Substituindo as equações paramétricas de r2 na equação de r1, obtemos -(-4 + (1/2)t) + 2(5 - 2t) - 4 = 0. Resolvendo para t, encontramos t = 2. Substituindo t = 2 nas equações paramétricas de r2, encontramos Q = (-3, 1). (b) Para encontrar o ponto B simétrico do ponto A em relação à reta r1, podemos usar a fórmula de reflexão: B = A - 2projr1(A), onde projr1(A) é a projeção do vetor A sobre o vetor diretor de r1. O vetor diretor de r1 é (-1, 2), então podemos calcular a projeção de A sobre esse vetor usando a fórmula de projeção: projr1(A) = ((-4)(-1) + 5(2))/5 * (-1)^2 + 2^2 = (6/5, 12/5). Substituindo na fórmula de reflexão, encontramos B = (-14/5, 8/5). (c) Para encontrar a equação da reta s paralela ao vetor v⃗ = (-3, 1) e que passa pelo ponto A, podemos usar a equação vetorial da reta: r(t) = A + tv⃗. Substituindo A = (-4, 5) e v⃗ = (-3, 1), encontramos r(t) = (-4, 5) + t(-3, 1) = (-4 - 3t, 5 + t). Para encontrar o ponto C tal que a área do triângulo ABC é 20, podemos usar a fórmula da área do triângulo: área = 1/2 * base * altura. A base do triângulo ABC é a distância entre as retas r1 e s, que pode ser encontrada usando a fórmula da distância entre duas retas paralelas: d = |(A1 - A2)·n⃗|/|n⃗|, onde A1 e A2 são pontos nas retas r1 e s, respectivamente, e n⃗ é o vetor normal às retas. Como as retas r1 e s são paralelas, seus vetores normais são iguais, então podemos escolher (2, -1/2) como vetor normal. Escolhendo A1 = (-4, 5) e A2 = (-4 - 3t, 5 + t), podemos calcular a distância d como d = |(-3t, -t/2)·(2, -1/2)|/|(2, -1/2)| = |6t + t/2|/√(17/4). A altura do triângulo ABC em relação à base BC é a distância entre o ponto C e a reta r1, que pode ser encontrada usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: h = |(-(-4) + 2(5) - 4)/√(1^2 + 2^2)| = 3/√5. Substituindo na fórmula da área do triângulo, encontramos 20 = 1/2 * d * h, o que nos dá a equação 40 = |6t + t/2|/√(17/4) * 3/√5. Resolvendo para t, encontramos t = ±2. Substituindo t = 2 na equação da reta s, encontramos C = (-10, 7).