Análise Combinatória a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 al...

Para resolver esse problema de análise combinatória, é necessário utilizar a fórmula de combinação. A fórmula de combinação é dada por: C(n,p) = n! / (p! * (n-p)!) Onde n é o número total de elementos, p é o número de elementos escolhidos e ! representa o fatorial. a) C(n, p) + 10 = n b) C(n, p) + 20 = n c) C(n, p) + 119 = n d) C(n, p) + 260 = n e) C(n, p) + 270 = n Para resolver cada item, basta isolar o valor de n na equação e substituir pelos valores de n e p na fórmula de combinação. Por exemplo, para o item a: C(n, p) + 10 = n C(n, p) = n - 10 n! / (p! * (n-p)!) = n - 10 Substituindo n por n - p + p: (n - p + p)! / (p! * (n - p)!) = n - 10 (n - p + p) * (n - p + p - 1) * ... * (n - p + 1) / p! = n - 10 Simplificando: (n - p + 1) * (n - p + 2) * ... * n / p! = n - 10 (n - p + 1) * (n - p + 2) * ... * n = p! * (n - 10) C(n, p) = n! / (p! * (n-p)!) = p! * (n - 10) / (p! * (n - p)!) C(n, p) = (n - 10) / (n - p)! Substituindo os valores de n e p em cada item, temos: a) C(n, p) + 10 = n C(n, p) = n - 10 (n - 10) / (n - p)! = C(n, p) (n - 10) / (n - p)! = (n! / (p! * (n-p)!)) (n - 10) * (p! * (n-p)!) = n! 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3628800 (n - 10) * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - 9) = 3628800 n = 20 b) C(n, p) + 20 = n C(n, p) = n - 20 (n - 20) / (n - p)! = C(n, p) (n - 20) / (n - p)! = (n! / (p! * (n-p)!)) (n - 20) * (p! * (n-p)!) = n! 20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 2432902008176640000 (n - 20) * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - 19) = 2432902008176640000 n = 40 c) C(n, p) + 119 = n C(n, p) = n - 119 (n - 119) / (n - p)! = C(n, p) (n - 119) / (n - p)! = (n! / (p! * (n-p)!)) (n - 119) * (p! * (n-p)!) = n! 119 * 118 * 117 * ... * 3 * 2 * 1 = 78664116853889801376 (n - 119) * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - 118) = 78664116853889801376 n = 130 d) C(n, p) + 260 = n C(n, p) = n - 260 (n - 260) / (n - p)! = C(n, p) (n - 260) / (n - p)! = (n! / (p! * (n-p)!)) (n - 260) * (p! * (n-p)!) = n! 260 * 259 * 258 * ... * 3 * 2 * 1 = 23197681106559488000 (n - 260) * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - 259) = 23197681106559488000 n = 270 e) C(n, p) + 270 = n C(n, p) = n - 270 (n - 270) / (n - p)! = C(n, p) (n - 270) / (n - p)! = (n! / (p! * (n-p)!)) (n - 270) * (p! * (n-p)!) = n! 270 * 269 * 268 * ... * 3 * 2 * 1 = 300672664995410176000 (n - 270) * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - 269) = 300672664995410176000 n = 280 Portanto, as respostas são: a) 20 b) 40 c) 130 d) 270 e) 280