(UNICAMP - 2014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x2 + ax + b, definidas para todo real. a ) Sabendo que o gráfi...

a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, podemos concluir que a raiz da função é x = 0 e que a função atinge seu valor mínimo nesse ponto. Como a função é quadrática, seu valor mínimo ocorre no vértice da parábola, que está na metade do caminho entre as raízes. Portanto, a outra raiz também deve ser x = 0. Assim, temos que: f(x) = x² + ax + b f(0) = 1 f'(0) = 0 Substituindo x = 0, temos: f(0) = 0² + a.0 + b = b = 1 Substituindo b = 1 na equação da função, temos: f(x) = x² + ax + 1 Derivando a função, temos: f'(x) = 2x + a Como a função é tangente ao eixo x, temos que f'(0) = 0, o que implica em a = 0. Portanto, os possíveis valores de a e b são a = 0 e b = 1. b) Quando a + b = 1, temos: f(x) = x² + ax + (1-a) Para encontrar o ponto em comum dos gráficos dessas funções quadráticas, basta igualar as duas funções e resolver para x: x² + ax + (1-a) = x² + bx + (1-b) ax - bx = b - a x(a-b) = b - a x = (b - a)/(a - b) Substituindo a + b = 1, temos: x = (b - a)/(-b + a) = -1 Substituindo x = -1 em uma das funções, temos: f(-1) = (-1)² + a(-1) + (1-a) = 2 - a Portanto, o ponto em comum dos gráficos é (-1, 2 - a).