As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou utiliz...

Para calcular o volume do sólido abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retângulo, podemos utilizar integrais duplas. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração para x e y. O retângulo é definido por 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 4.5 (pois 3x + 2y = 12 quando z = 0). Agora, podemos escrever a integral dupla para calcular o volume V: V = ∬R f(x,y) dA Onde R é a região do retângulo e f(x,y) é a função que define a altura do sólido em cada ponto (x,y). Como a altura é dada por z = 12 - 3x - 2y, temos: f(x,y) = 12 - 3x - 2y Assim, a integral dupla fica: V = ∫0^3 ∫0^4.5 (12 - 3x - 2y) dy dx Resolvendo as integrais, temos: V = ∫0^3 [12y - 2y^2 - 3xy] de y = 0 a y = 4.5 V = ∫0^3 (54 - 13.5x) dx V = [54x - (13.5/2)x^2] de x = 0 a x = 3 V = 952 Portanto, o volume do sólido é 952, alternativa C.