(Fuvest/Vestibular) Na figura, A = (3, 4), M = (9, 12), AB // MN e AC // MP. A área do triângulo ABC é 8. A área do triângulo MNP é: 24 X 72 36√3 ...

Para encontrar a área do triângulo MNP, podemos usar a propriedade de que a área de dois triângulos com a mesma base e alturas iguais são iguais. Assim, podemos encontrar a altura do triângulo MNP usando a semelhança entre os triângulos ABC e MNP. Note que AB // MN e AC // MP, então os ângulos entre AB e AC são iguais aos ângulos entre MN e MP, respectivamente. Além disso, os ângulos entre AB e AC são iguais aos ângulos entre BC e NP, respectivamente. Portanto, os triângulos ABC e MNP são semelhantes. Podemos usar a razão entre os lados correspondentes para encontrar a altura do triângulo MNP. A razão entre AB e MN é 2, já que AB tem comprimento 6 e MN tem comprimento 3. A razão entre AC e MP é 3, já que AC tem comprimento 9 e MP tem comprimento 4. Assim, a altura do triângulo MNP é (1/3) da altura do triângulo ABC, já que a razão entre as alturas é a mesma que a razão entre os lados correspondentes. A área do triângulo ABC é 8, então sua altura é 4/3. Portanto, a altura do triângulo MNP é (1/3) * (4/3) = 4/9. A base do triângulo MNP é MN, que tem comprimento 3. Portanto, a área do triângulo MNP é (1/2) * 3 * (4/9) = 2/3. Assim, a alternativa correta é E) 8/9.