9) Resposta: Usando prova por casos, temos que |x| + |y| ≥ |x + y|, elevando ao quadrado, para que Z > 0, Z∈ℝ, a relação z2 é uma relação injetora....

9) Resposta: Usando prova por casos, temos que |x| + |y| ≥ |x + y|, elevando ao quadrado, para que Z > 0, Z∈ℝ, a relação z2 é uma relação injetora. |x2| + 2*|x|*|y|2 ≥ x2 +2*x*y+y2; Sabemos que |x|2 = x2, para todo x∈ℝ, a relação também vale para y; x2 + 2*|x|*|y|+y2 ≥ x2 + 2*x*y+y2; |x|*|y| ≥ x * y; Com isso temos o caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0: |x| = x; |y| = y → |x| * |y| = x * y. Satisfazendo nesse caso Caso 2: x ≥ 0 e y < 0: |x| = x; |y| = -y; → |x| * |y| ≥ 0 e 0 > x*y, |x| * |y| ≥ x * y. Também satisfaz. Caso 3: x < 0 e y ≥ 0: Da mesma forma do caso 2, também satisfaz. Caso 4: x < 0 e y < 0: De forma igual ao caso 1, também satisfaz. Sendo então, a relação verdadeira para todo x, y ∈ℝ.