EXISTÊNCIA DE RAÍZES Inicialmente, observamos que se [a0, b0], [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], … for uma sequência de intervalos satisfazendo as c...

Para mostrar que a equação x² = 2 admite uma única raiz positiva α, podemos utilizar o método da bissecção. Esse método consiste em dividir o intervalo [a, b] em duas partes iguais e verificar em qual das partes a raiz da equação se encontra. Repetimos esse processo até que a precisão desejada seja alcançada. No caso da equação x² = 2, podemos escolher o intervalo [1, 2], pois sabemos que 1² < 2 e 2² > 2. Dividindo esse intervalo ao meio, temos [1, 1.5] e [1.5, 2]. Como 1.5² < 2, a raiz da equação deve estar no intervalo [1.5, 2]. Dividindo esse intervalo ao meio, temos [1.5, 1.75] e [1.75, 2]. Como 1.75² > 2, a raiz da equação deve estar no intervalo [1.5, 1.75]. Repetindo esse processo, podemos obter um intervalo cada vez menor que contém a raiz da equação. Podemos provar que a equação x² = 2 tem uma única raiz positiva α mostrando que a sequência de intervalos obtida pelo método da bissecção satisfaz as condições da propriedade dos intervalos encaixantes. Como a sequência de intervalos é decrescente e limitada inferiormente por √2 e superiormente por 2, ela tem uma única interseção, que é a raiz positiva α da equação x² = 2.