DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE DOS INTERVALOS ENCAIXANTES Seja [ a0, b0 ], [ a1, b1 ], [ a2, b2 ], …, [ an, bn ], … uma sequência de intervalos satisf...

DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE DOS INTERVALOS ENCAIXANTES Seja [ a0, b0 ], [ a1, b1 ], [ a2, b2 ], …, [ an, bn ], … uma sequência de intervalos satisfazendo as condições: [ a0, b0 ] ⊃ [ a1, b1 ] ⊃ [ a2, b2 ] ⊃ … ⊃ [ an, bn ] ⊃ … (ou seja, cada intervalo da sequência contém o seguinte); para todo r > 0, existe um natural n tal que bn − an < r (ou seja, à medida que n cresce, o comprimento do intervalo [ an, bn ] vai tendendo a zero). Nestas condições, existe um único real α que pertence a todos os intervalos da sequência, isto é, existe um único real α tal que, para todo natural n, an ≤ α ≤ bn.