A reta r intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Determine a distância entre A e B, sabendo-se que r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1). ...

Para encontrar a distância entre os pontos A e B, precisamos primeiro encontrar as coordenadas de A e B. Sabemos que a reta r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1) e intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Para encontrar as coordenadas de A, podemos observar que o ponto A tem coordenada y igual a 0, pois está sobre o eixo x. Portanto, podemos usar a equação da reta r para encontrar a coordenada x de A: y - y1 = m(x - x1) 0 - 2 = m(x - 1) x - 1 = -2/m x = 1 - 2/m Agora, para encontrar as coordenadas de B, podemos observar que o ponto B tem coordenada x igual a 0, pois está sobre o eixo y. Portanto, podemos usar a equação da reta r para encontrar a coordenada y de B: y - y1 = m(x - x1) y - 1 = m(0 - 3) y = 1 - 3m Agora que temos as coordenadas de A e B, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Substituindo as coordenadas de A e B, temos: d = sqrt((0 - (1 - 2/m))^2 + ((0 - (1 - 3m))^2)) Simplificando a expressão, temos: d = sqrt((1 - 2/m)^2 + (1 - 3m)^2) Para encontrar o valor de m, podemos usar a equação da reta r: m = (y2 - y1)/(x2 - x1) m = (1 - 2)/(3 - 1) m = -1/2 Substituindo o valor de m na expressão para d, temos: d = sqrt((1 - 2/(-1/2))^2 + (1 - 3(-1/2))^2) d = sqrt((1 + 4)^2 + (1 + 3)^2) d = sqrt(25 + 16) d = sqrt(41) Portanto, a distância entre os pontos A e B é sqrt(41), que corresponde à alternativa c) 41. c).