Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfí...

Para encontrar o valor de r e h que maximizam o volume do sólido, podemos utilizar o método do cálculo diferencial. Primeiro, vamos encontrar a função que representa o volume do sólido em termos de r e h. O sólido é composto por um cilindro e uma semiesfera, então o volume pode ser dado por: V = Vc + Vs Onde Vc é o volume do cilindro e Vs é o volume da semiesfera. Temos: Vc = πr²h Vs = (2/3)πr³ Substituindo na equação do volume total, temos: V = πr²h + (2/3)πr³ Agora, vamos encontrar a área da superfície do sólido em termos de r e h. A área é composta pela área lateral do cilindro, pela área da base do cilindro e pela área da semiesfera. Temos: Al = 2πrh Ab = πr² As = 2πr² Substituindo na equação da área total, temos: A = 2πrh + 3πr² Sabemos que a área total deve ser igual a 5π, então temos: 2πrh + 3πr² = 5π 2rh + 3r² = 5 h = (5 - 3r²)/(2r) Agora, podemos substituir a expressão de h na equação do volume: V = πr²((5 - 3r²)/(2r)) + (2/3)πr³ Simplificando, temos: V = (5/6)πr³ - (3/2)πr⁴ Para encontrar o valor de r que maximiza o volume, podemos derivar a função em relação a r e igualar a zero: dV/dr = (5/2)πr² - 6πr³ = 0 Simplificando, temos: r(5 - 6r) = 0 Portanto, r = 0 ou r = 5/6. Como r deve ser positivo, temos r = 5/6. Agora, podemos encontrar o valor de h substituindo r na expressão que encontramos anteriormente: h = (5 - 3(5/6)²)/(2(5/6)) = 5/3 Portanto, as dimensões que maximizam o volume do sólido são r = 5/6 e h = 5/3.