Seja f (x) = ex. Determine os polinômios de Taylor, de ordens 1 e 2, de f em volta de x0 = 0. Esboce os gráficos de f e dos polinômios.

Para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 1 de f(x) = e^x em torno de x0 = 0, precisamos encontrar a derivada de primeira ordem de f(x) e avaliá-la em x0 = 0. f(x) = e^x f'(x) = e^x Avaliando em x0 = 0, temos: f(0) = e^0 = 1 f'(0) = e^0 = 1 O polinômio de Taylor de ordem 1 de f(x) em torno de x0 = 0 é dado por: P1(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) P1(x) = 1 + 1(x - 0) P1(x) = 1 + x Para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x) = e^x em torno de x0 = 0, precisamos encontrar a derivada de segunda ordem de f(x) e avaliá-la em x0 = 0. f(x) = e^x f'(x) = e^x f''(x) = e^x Avaliando em x0 = 0, temos: f(0) = e^0 = 1 f'(0) = e^0 = 1 f''(0) = e^0 = 1 O polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x) em torno de x0 = 0 é dado por: P2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (f''(x0)/(2!))(x - x0)^2 P2(x) = 1 + 1(x - 0) + (1/(2!))(x - 0)^2 P2(x) = 1 + x + (1/2)x^2 Para esboçar os gráficos de f(x), P1(x) e P2(x), podemos usar um software de plotagem de gráficos ou uma calculadora gráfica. O gráfico de f(x) é uma curva exponencial crescente, enquanto os gráficos de P1(x) e P2(x) são retas que se aproximam da curva exponencial à medida que x se aproxima de 0.