Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 = 0. Seja a > 0 um número real dado. Mostre que não existe M > 0 tal que para todo x...

O polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0 = 0 é dado por: f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2)x² Para mostrar que não existe M > 0 tal que para todo x em [0, a], | f ‴ (x) | ≤ M, podemos considerar a função f(x) = x³. Temos que f'''(x) = 6x, que não é limitada em [0, a] para a > 0. Portanto, não existe M > 0 que satisfaça a condição. Para mostrar que existe uma função φ(x) definida em I tal que, para todo x em I: f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (f''(x0)/2)(x - x0)² + (x - x0)²φ(x) Podemos usar o teorema do valor médio para a função g(t) = (f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - x0) - (f''(x0)/2)(x - x0)²) / (x - x0)³. Temos que g(x) = φ(x), e: g(t) = (f'''(c) / 3!) * (t - x0) Para algum c entre x0 e x. Substituindo na expressão de g(t), temos: φ(x) = f'''(c) / 6 Que é a função φ(x) procurada.