Mostre que P (x) = 1 − x2 + x4 − x6 + x8 − x10 é o polinômio de Taylor, de ordem 10, de f em volta de x0 = 0. (Não é necessário calcular as derivad...

Para mostrar que P(x) = 1 - x² + x⁴ - x⁶ + x⁸ - x¹⁰ é o polinômio de Taylor de ordem 10 de f em torno de x0 = 0, podemos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor: P(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)²/2! + ... + fⁿ(x0)(x-x0)ⁿ/n! Como x0 = 0, temos que f(x0) = f(0) = 1. Além disso, podemos observar que os coeficientes do polinômio de Taylor são iguais aos coeficientes da expansão de f(x) em série de potências: f(x) = 1/(1+x²) = 1 - x² + x⁴ - x⁶ + x⁸ - x¹⁰ + ... Portanto, temos que P(x) = f(x) para n = 10, o que mostra que P(x) é o polinômio de Taylor de ordem 10 de f em torno de x0 = 0. Para mostrar que a função E(x) = f(x) - P(x) é contínua em [-1,1], podemos observar que E(x) é uma soma finita de funções contínuas, já que P(x) é um polinômio e f(x) é contínua em [-1,1]. Portanto, E(x) também é contínua em [-1,1]. Olhando para o polinômio de Taylor de ordem 10 de f em torno de x0 = 0, podemos calcular as derivadas de f em x0 = 0: f(x) = 1/(1+x²) f'(x) = -2x/(1+x²)² f''(x) = (2-6x²)/(1+x²)³ f‴(x) = (-24x+24x⁴)/(1+x²)⁴ f⁴(x) = (24-240x²+240x⁴)/(1+x²)⁵ f⁵(x) = (960x-1440x³+480x⁵)/(1+x²)⁶ f⁶(x) = (-4800x²+7200x⁴-1920x⁶)/(1+x²)⁷ f⁷(x) = (-33600x+60480x³-30240x⁵+4480x⁷)/(1+x²)⁸ f⁸(x) = (338880x²-508320x⁴+190080x⁶-26880x⁸)/(1+x²)⁹ f⁹(x) = (6096384x-10160640x³+4872960x⁵-928320x⁷+60928x⁹)/(1+x²)¹⁰ f¹⁰(x) = (184756000x²-277128000x⁴+123552000x⁶-22809600x⁸+1643544x¹⁰)/(1+x²)¹¹ Portanto, temos que f'(0) = 0, f''(0) = 2, f‴(0) = 0, f⁴(0) = -24, f⁵(0) = 0, f⁶(0) = 720, f⁷(0) = 0, f⁸(0) = -40320, f⁹(0) = 0 e f¹⁰(0) = 3628800. Para determinar o polinômio de Taylor de ordem 11 de g(x) = arctan(x) em torno de x0 = 0, podemos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor: g(x) = g(x0) + g'(x0)(x-x0)/1! + g''(x0)(x-x0)²/2! + ... + gⁿ(x0)(x-x0)ⁿ/n! Como x0 = 0, temos que g(x0) = g(0) = 0. Além disso, podemos calcular as derivadas de g em x0 = 0: g(x) = arctan(x) g'(x) = 1/(1+x²) g''(x) = -2x/(1+x²)² g‴(x) = (6x²-2)/(1+x²)³ g⁴(x) = (-24x+24x⁵)/(1+x²)⁴ g⁵(x) = (120x³-80x)/(1+x²)⁵ g⁶(x) = (-720x⁴+720x²-120)/(1+x²)⁶ g⁷(x) = (5040x³-5040x)/(1+x²)⁷ g⁸(x) = (-40320x⁴+55440x²-15120)/(1+x²)⁸ g⁹(x) = (362880x³-483840x)/(1+x²)⁹ g¹⁰(x) = (-3628800x⁴+5443200x²-181440)/(1+x²)¹⁰ g¹¹(x) = (39916800x³-66528000x)/(1+x²)¹¹ Portanto, temos que o polinômio de Taylor de ordem 11 de g(x) em torno de x0 = 0 é: g(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + x⁹/9 - x¹¹/11 Para determinar o polinômio de Taylor de ordem n de f(x) = (1+x)α em torno de x0 = 0, podemos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor: f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)²/2! + ... + fⁿ(x0)(x-x0)ⁿ/n! Como x0 = 0, temos que f(x0) = f(0) = 1. Além disso, podemos calcular as derivadas de f em x0 = 0: f(x) = (1+x)α f'(x) = α(1+x)α-1 f''(x) = α(α-1)(1+x)α-2 f‴(x) = α(α-1)(α-2)(1+x)α-3 f⁴(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(1+x)α-4 f⁵(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(1+x)α-5 f⁶(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(1+x)α-6 f⁷(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(1+x)α-7 f⁸(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(1+x)α-8 f⁹(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(α-8)(1+x)α-9 f¹⁰(x) = α(α-1)(α-2)(α-3)(α-4)(α-5)(α-6)(α-7)(α-8)(α-9)(1+x)α-10 fⁿ(x) = α(α-1)(α-2)...(α-n+1)(1+x)α-n Portanto, o polinômio de Taylor de ordem n de f(x) em torno de x0 = 0 é: f(x) = 1 + αx + α(α-1)x²/2! + α(α-1)(α-2)x³/3! + ... + α(α-1)...(α-n+1)xⁿ/n! O erro da aproximação é dado por: Rn(x) = fⁿ⁺¹(ξ)(x-x0)ⁿ⁺¹/(n+1)! onde ξ é um número entre x0 e x.