Prove que a equação x3 - 3x2 + 6 = 0 admite uma única raiz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

Para provar que a equação x³ - 3x² + 6 = 0 admite uma única raiz real, podemos utilizar o Teorema de Rolle. Primeiramente, vamos calcular a derivada da função f(x) = x³ - 3x² + 6: f'(x) = 3x² - 6x Agora, vamos verificar se a função f(x) possui raízes múltiplas. Para isso, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de x onde f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 3x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2 Agora, vamos verificar se a função f(x) é crescente ou decrescente em cada um dos intervalos determinados pelos pontos críticos. Para isso, podemos utilizar a segunda derivada da função: f''(x) = 6x - 6 - Para x < 0, temos f''(x) < 0, o que significa que a função é côncava para baixo e, portanto, decrescente. - Para 0 < x < 2, temos f''(x) > 0, o que significa que a função é côncava para cima e, portanto, crescente. - Para x > 2, temos f''(x) > 0, o que significa que a função é côncava para cima e, portanto, crescente. Portanto, a função f(x) possui um único ponto de mínimo relativo em x = 2, o que significa que a função é decrescente para x < 2 e crescente para x > 2. Além disso, temos f(0) = 6 e f(3) = -3, o que significa que a função muda de sinal no intervalo (0, 3). Portanto, pelo Teorema de Rolle, a função possui uma única raiz real no intervalo (0, 3). Para determinar um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz, podemos utilizar o método da bissecção. Começamos com o intervalo [0, 3] e calculamos o valor da função no ponto médio: f(1,5) = -0,375 Como f(1,5) é negativo, a raiz da equação está no intervalo [1,5, 3]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(2,25) = 2,859 Como f(2,25) é positivo, a raiz da equação está no intervalo [1,5, 2,25]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,875) = 0,703 Como f(1,875) é positivo, a raiz da equação está no intervalo [1,5, 1,875]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,6875) = -0,128 Como f(1,6875) é negativo, a raiz da equação está no intervalo [1,6875, 1,875]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,78125) = 0,292 Como f(1,78125) é positivo, a raiz da equação está no intervalo [1,6875, 1,78125]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,734375) = 0,082 Como f(1,734375) é positivo, a raiz da equação está no intervalo [1,6875, 1,734375]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,7109375) = -0,023 Como f(1,7109375) é negativo, a raiz da equação está no intervalo [1,7109375, 1,734375]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,72265625) = 0,029 Como f(1,72265625) é positivo, a raiz da equação está no intervalo [1,7109375, 1,72265625]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,716796875) = 0,003 Como f(1,716796875) é positivo, a raiz da equação está no intervalo [1,7109375, 1,716796875]. Calculamos o valor da função no novo ponto médio: f(1,7138671875) = -0,010 Como f(1,7138671875) é negativo, a raiz da equação está no intervalo [1,7138671875, 1,716796875]. Como a amplitude desse intervalo é menor que 1, podemos considerar que a raiz da equação está em torno de 1,715.