Calcule a área da região limitada pela curva dada (coordenadas polares). ρ = 2 − cos θ ρ2 = cos θ (ρ ≥ 0) ρ = cos 2θ ρ = cos 3θ

Para calcular a área da região limitada pelas curvas dadas, é necessário encontrar os pontos de interseção entre elas e, em seguida, integrar a expressão da área em coordenadas polares. Para encontrar os pontos de interseção, podemos igualar as equações duas a duas e resolver para ρ e θ. Fazendo isso, obtemos: ρ = 2 − cos θ e ρ2 = cos θ: 2 - cos θ = cos θ cos θ = 1 θ = 0 ρ = 2 − cos θ e ρ = cos 2θ: 2 - cos θ = cos 2θ 2cos 2θ + cos θ - 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: cos θ = (sqrt(17) - 1)/4 ou cos θ = (-sqrt(17) - 1)/4 ρ = 2 − cos θ e ρ = cos 3θ: 2 - cos θ = cos 3θ 4cos^3θ - 3cosθ - 2 = 0 Resolvendo a equação do terceiro grau, encontramos: cos θ = -0,7249 ou cos θ = 0,848 ρ2 = cos θ e ρ = cos 2θ: cos 2θ = cos^2θ cos 2θ - cos^2θ = 0 cos^2θ(1 - cos θ) = 0 cos θ = 0 ou cos θ = 1 Agora que temos os pontos de interseção, podemos integrar a expressão da área em coordenadas polares: A = 1/2 ∫[θ1,θ2] (ρ2 - ρ1)^2 dθ Substituindo os valores de ρ para cada intervalo de θ, temos: A = 1/2 ∫[0,arccos(1/2)] ((cos θ)^2 - (2 - cos θ)^2) dθ + 1/2 ∫[arccos((sqrt(17) - 1)/4),arccos(-sqrt(17) - 1)/4)] ((cos θ)^2 - (2 - cos θ)^2) dθ + 1/2 ∫[arccos(-0,7249),arccos(0,848)] ((cos 3θ)^2 - (2 - cos θ)^2) dθ + 1/2 ∫[arccos(0),arccos(1)] ((cos 2θ)^2 - (cos θ)^2) dθ Resolvendo as integrais, encontramos: A = 3π/4 + (sqrt(17) - 5)π/8 + 3/8 + π/8 A = (sqrt(17) + 5)π/8 + 1/2 Portanto, a área da região limitada pelas curvas dadas é (sqrt(17) + 5)π/8 + 1/2.