EXEMPLO. Sejam r e s dois racionais; prove: r* + s* = (r + s). Solução Precisamos provar que r + s* ⊂ (r + s)* e que r* + s* ⊃ (r + s)*. Lembramo...

EXEMPLO. Sejam r e s dois racionais; prove: r* + s* = (r + s)*. Solução Precisamos provar que r* + s* ⊂ (r + s)* e que r* + s* ⊃ (r + s)*. Lembramos, inicialmente, que r* = {x ∈ ℚ | x < r }; s* = {x ∈ ℚ | x < s} e (r + s)* = {x ∈ ℚ | x < r + s}. r* + s* ⊂ (r + s)* x ∈ r* + s* ⇔ x = a + b para algum a < r e algum b < s, com a e b racionais. Provamos, assim, que x ∈ r* + s* ⇒ x ∈ (r + s)*; logo, r* + s* ⊂ (r + s)*. (r + s)* ⊂ r* + s* x ∈ (r + s)* ⇒ x < r + s ⇒ x − r < s. Tomemos um racional u, com x − r < u < s. A6.4. u < s ⇒ u ∈ s* x − r < u ⇒ x − u < r ⇒ x − u ∈ r*. Segue que x = (x − u) + u, com x − u ∈ r* e u ∈ s*; logo, x ∈ r* + s*. Provamos assim, que x ∈ (r + s)* ⇒ x ∈ r* + s* logo (r + s)* ⊂ r* + s*.

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Desafios Para o Conhecimento

11/03/2024

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Um curso de Cálculo Vol 1

Pré - Cálculo • Universidade Federal FluminenseUniversidade Federal Fluminense

Verônica de Lima

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11.03.2024

A solução apresentada é a prova de que r* + s* = (r + s)*. A primeira parte da prova mostra que r* + s* é um subconjunto de (r + s)*, ou seja, todo elemento de r* + s* também pertence a (r + s)*. A segunda parte da prova mostra que (r + s)* é um subconjunto de r* + s*, ou seja, todo elemento de (r + s)* também pertence a r* + s*. Portanto, conclui-se que r* + s* = (r + s)*.

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