201. (Ufpe) Quando x e y variam no conjunto dos números reais, qual o menor valor assumido pelo polinômio 3x£ + 2y£ - 6x + 8y + 30 = 3(x-1)£ + 2(y+...

Para encontrar o menor valor assumido pelo polinômio, podemos utilizar o método de completar quadrados. Primeiro, vamos isolar os termos que contêm x e y ao lado esquerdo da equação: 3x² - 6x + 2y² + 8y = -11 + 3 + 4 Agora, vamos completar o quadrado para x e y, adicionando e subtraindo os termos adequados: 3(x² - 2x + 1) + 2(y² + 4y + 4) = -4 + 3 + 8 Simplificando: 3(x - 1)² + 2(y + 2)² = 7 Dividindo tudo por 7, temos: (x - 1)²/((√(7/3))²) + (y + 2)²/((√(7/2))²) = 1 Agora, podemos ver que a equação representa uma elipse centrada em (1, -2), com semi-eixos a = √(3/7) e b = √(2/7). O menor valor assumido pelo polinômio ocorre no ponto mais baixo da elipse, que é o ponto (1, -2 - √(2/7)). Substituindo esses valores na equação original, encontramos: 3(1)² + 2(-2 - √(2/7))² - 6(1) + 8(-2 - √(2/7)) + 30 = 3(0) + 2(0) + 19 Simplificando: 2√(14/7) - 23 Portanto, o menor valor assumido pelo polinômio é 2√(14/7) - 23.