(Ufrj) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir. Ca...

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Método dos discos: Dividimos o sólido em discos infinitesimais de raio r e espessura dx. O raio r é dado pela diferença entre o raio do semicírculo e a distância do eixo de rotação ao ponto em que o disco é formado. Temos que r = (x/2 - y)^2 / (2y). O volume de cada disco é dado por dV = πr^2dx. Integrando de x/2 até x, temos: V = ∫(x/2)^x π[(x/2 - y)^2 / (2y)]^2 dx V = π/4 ∫0^(x/2) [(x/2 - y)^2 / y]^2 dy V = π/4 ∫0^(x/2) [(x/2y - 1)^2] dy V = π/4 [(x/2)^3 / 3 - (x/2)^2 + (x/2)] Método das cascas: Dividimos o sólido em cascas infinitesimais de raio r, espessura dx e altura h. O raio r é dado pela diferença entre o raio do semicírculo e a distância do eixo de rotação ao ponto em que a casca é formada. Temos que r = (x/2 - y) e h = dx. O volume de cada casca é dado por dV = 2πrhdx. Integrando de 0 até y, temos: V = ∫0^y 2π(x/2 - y)dx V = π/2 ∫0^y (x - 2y)dx V = π/2 [y^2(x/2 - y) - y^3/3] Portanto, o volume do sólido é dado por V = π/4 [(x/2)^3 / 3 - (x/2)^2 + (x/2)] ou V = π/2 [y^2(x/2 - y) - y^3/3], dependendo do método utilizado.