Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir. Calcule o...

O sólido gerado pela rotação da região sombreada em torno do eixo que passa pelos centros dos semicírculos é um sólido de revolução. Para calcular o seu volume, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Método dos discos: Dividimos o sólido em discos infinitesimais de raio r e espessura dx. O raio r é dado pela diferença entre o raio do semicírculo e a distância do eixo de rotação ao ponto considerado. Assim, temos: r = (x/2 - y)^2 + y^2 / (2y) r = (x^2 - 4xy + 5y^2) / (4y) O volume de cada disco é dado por: dV = πr^2 dx dV = π(x^2 - 4xy + 5y^2)^2 / (16y^2) dx Integrando de x = y até x = x/2, temos: V = ∫(y até x/2) π(x^2 - 4xy + 5y^2)^2 / (16y^2) dx V = π/16 ∫(y até x/2) (x^4 - 8x^3y + 28x^2y^2 - 48xy^3 + 25y^4) dx V = π/16 [(x^5/5 - 2x^4y + 14x^3y^2 - 24x^2y^3 + 5y^5) / 5] de y até x/2 V = π/80 (x^5 - 10x^3y^2 + 25xy^4 - 2y^5) Método das cascas: Dividimos o sólido em cascas infinitesimais de espessura dx e raio externo R e raio interno r. O raio externo é dado pela distância do ponto considerado ao centro do semicírculo maior, enquanto o raio interno é dado pela distância do ponto considerado ao centro do semicírculo menor. Assim, temos: R = x/2 r = x/2 - y O volume de cada casca é dado por: dV = 2πrh dx dV = 2π(x/2 - y)(x/2) dx dV = π(x^2 - 4xy + 4y^2) dx Integrando de x = y até x = x/2, temos: V = ∫(y até x/2) π(x^2 - 4xy + 4y^2) dx V = π/3 [(x^3/3 - 3x^2y + 4xy^2) / 4] de y até x/2 V = π/12 (x^3 - 9x^2y + 12xy^2) Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação da região sombreada em torno do eixo que passa pelos centros dos semicírculos é dado por: V = π/80 (x^5 - 10x^3y^2 + 25xy^4 - 2y^5) ou V = π/12 (x^3 - 9x^2y + 12xy^2) A escolha do método depende da preferência do estudante e da facilidade de integração.