Questão 2. Uma partícula move-se no espaço com vetor posição −→r (t) e velocidade −→v (t). Sabendo que a aceleração dessa partícula no instante t é dada por −→a (t) = ⟨2 cos(t)− t sen(t), 2 sen(t) + t cos(t), 2⟩ , −→v (0) = −−→j + −→k e −→r (0) = −→k , determine −→r (t) e utilize um software gráfico para traçar a trajetória da partícula.

Question

Questão 2. Uma partícula move-se no espaço com vetor posição −→r (t) e velocidade −→v (t). Sabendo que a aceleração dessa partícula no instante t é...

Ed · Answer

Para determinar o vetor posição $\vec{r}(t)$ da partícula, precisamos integrar a aceleração $\vec{a}(t)$ para encontrar a velocidade $\vec{v}(t)$ e, em seguida, integrar a velocidade para encontrar a posição.

1. **Aceleração**: 
   $$
   \vec{a}(t) = \langle 2 \cos(t) - t \sin(t), 2 \sin(t) + t \cos(t), 2 \rangle
   $$

2. **Integração da aceleração para encontrar a velocidade**:
   $$
   \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) \, dt = \langle \int (2 \cos(t) - t \sin(t)) \, dt, \int (2 \sin(t) + t \cos(t)) \, dt, \int 2 \, dt \rangle + \vec{C}
   $$

Para a primeira componente:
   $$
   \int (2 \cos(t) - t \sin(t)) \, dt = 2 \sin(t) + t \cos(t) + C_1
   $$

Para a segunda componente:
   $$
   \int (2 \sin(t) + t \cos(t)) \, dt = -2 \cos(t) + t \sin(t) + C_2
   $$

Para a terceira componente:
   $$
   \int 2 \, dt = 2t + C_3
   $$

Assim, temos:
   $$
   \vec{v}(t) = \langle 2 \sin(t) + t \cos(t) + C_1, -2 \cos(t) + t \sin(t) + C_2, 2t + C_3 \rangle
   $$

3. **Condições iniciais**:
   Sabemos que $\vec{v}(0) = \langle 0, -1, 1 \rangle$:
   - Para $t = 0$:
     $$
     \vec{v}(0) = \langle 2 \sin(0) + 0 \cdot \cos(0) + C_1, -2 \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) + C_2, 2 \cdot 0 + C_3 \rangle = \langle C_1, -2 + C_2, C_3 \rangle
     $$
   - Igualando:
     $$
     C_1 = 0, \quad -2 + C_2 = -1 \Rightarrow C_2 = 1, \quad C_3 = 1
     $$

Portanto, a velocidade é:
   $$
   \vec{v}(t) = \langle 2 \sin(t) + t \cos(t), -2 \cos(t) + t \sin(t) + 1, 2t + 1 \rangle
   $$

4. **Integração da velocidade para encontrar a posição**:
   $$
   \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) \, dt
   $$

Integrando cada componente:
   - Para a primeira componente:
     $$
     \int (2 \sin(t) + t \cos(t)) \, dt
     $$
   - Para a segunda componente:
     $$
     \int (-2 \cos(t) + t \sin(t) + 1) \, dt
     $$
   - Para a terceira componente:
     $$
     \int (2t + 1) \, dt
     $$

Após integrar e aplicar as condições iniciais $\vec{r}(0) = \langle 0, 0, 1 \rangle$, você encontrará os valores das constantes de integração.

5. **Traçar a trajetória**:
   Utilize um software gráfico como o GeoGebra ou MATLAB para traçar a trajetória da partícula com a função $\vec{r}(t)$ que você obteve.

Se precisar de mais detalhes sobre a integração ou o uso do software, é só avisar!

Ed · Answer

Para determinar o vetor posição da partícula, é necessário integrar o vetor velocidade. Assim, temos:

−→r (t) = ∫−→v (t) dt

Para encontrar o vetor posição, precisamos integrar cada componente do vetor velocidade. Assim, temos:

x(t) = ∫(2 cos(t)− t sen(t)) dt = 2 sen(t) + t cos(t) + C1

y(t) = ∫(2 sen(t) + t cos(t)) dt = 2 cos(t) - t sen(t) + C2

z(t) = ∫2 dt = 2t + C3

Onde C1, C2 e C3 são constantes de integração que podem ser determinadas a partir das condições iniciais.

Utilizando as condições iniciais, temos:

−→v (0) = −−→j + −→k

Assim, temos:

x(0) = 2 sen(0) + 0 cos(0) + C1 = C1 = 0

y(0) = 2 cos(0) - 0 sen(0) + C2 = C2 = 2

z(0) = 2.0 + C3 = C3 = 0

Portanto, as constantes de integração são C1 = 0, C2 = 2 e C3 = 0.

Assim, o vetor posição da partícula é dado por:

−→r (t) = ⟨2 sen(t) + t cos(t), 2 cos(t) - t sen(t) + 2, 2t⟩

Para traçar a trajetória da partícula, podemos utilizar um software gráfico, como o GeoGebra. Basta inserir as equações paramétricas do vetor posição e plotar a curva resultante.

Cálculo

C2 Lista Semanal 5 - 2022_4 (Com Gabarito)

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Questão 3. Calcule o comprimento da cicloide de equação −→α (t) = ⟨r(t− sen(t)), r(1− cos(t))⟩ para 0 ≤ t ≤ 2π, onde r > 0 é uma constante. Lembrete: sen2(t/2) = (1− cos(t))/2.

Questão 4. Considere a parábola semicúbica definida pela função vetorial −→α (t) = ⟨t2, t3⟩. Calcule o comprimento dessa curva no intervalo t ∈ [0, s], s > 0.

Questão 5. Faça um mapa de contorno para as funções abaixo, exibindo as curvas de nível associadas aos valores k especificados: a) f(x, y) = x2 + y2 − 8x+ 6y, para k ∈ {−20,−10,−5, 0, 5}; b) f(x, y) = ln(x) + ln(y), para k ∈ {−2,−1, 0, 1, 2}.

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