4. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies: a) O cilindro de x2 + y2 = 4 e a superfície z =...

a) Para encontrar a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies, podemos igualar as equações e isolar uma variável. Neste caso, podemos isolar a variável z em ambas as equações: x² + y² = 4 z = xy Substituindo z na primeira equação, temos: x² + y² = 4 xy = z xy = x²y² x² + y² = x²y² + 4 x²y² - x² - y² + 4 = 0 Podemos reescrever a equação acima como: (x² - 1)(y² - 1) = 3 A partir daí, podemos escolher uma variável para isolar e encontrar a função vetorial. Vamos isolar y²: y² = 1 + 3/(x² - 1) A função vetorial que representa a curva é: r(t) = (cos(t), sin(t), 1 + 3/(cos²(t) - 1)) para t em [0, 2π] b) Para encontrar a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies, podemos igualar as equações e isolar uma variável. Neste caso, podemos isolar a variável z em ambas as equações: z = √x² + z² z = 1 + y Substituindo z na segunda equação, temos: √x² + z² = 1 + y z² = (1 + y)² - x² z = ±√[(1 + y)² - x²] A função vetorial que representa a curva é: r(t) = (t, -1 + √(t² - 1), √(2 - t²)) para t em [-1, 1] c) Para encontrar a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies, podemos igualar as equações e isolar uma variável. Neste caso, podemos isolar a variável z em ambas as equações: z = x² - y² x² + y² = 1 Substituindo z na segunda equação, temos: x² + y² = 1 x² - y² = z 2x² = 1 + z x² = (1 + z)/2 y² = (1 - z)/2 A função vetorial que representa a curva é: r(t) = (cos(t), sin(t), (cos²(t) - sin²(t))/2) para t em [0, 2π]