Nos exercícios de 15 a 18, calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 15) y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4. 16) x2 + y2 = 1, ...

15) Para calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas, podemos utilizar o método da integração tripla. A integral tripla do sólido é dada por: V = ∫∫∫ dV Onde dV é o elemento de volume. Como o sólido é delimitado pelas superfícies y = x², y = 4, z = 0 e z = 4, podemos escrever: 0 ≤ z ≤ 4 x² ≤ y ≤ 4 -2 ≤ x ≤ 2 Assim, a integral tripla fica: V = ∫-2² ∫x²^4 ∫0^4 dz dy dx Resolvendo as integrais, temos: V = ∫-2² ∫x²^4 4-0 dy dx V = ∫-2² (4x² - x^6) dx V = 128/15 Portanto, o volume do sólido é 128/15. 16) O sólido é delimitado pelas superfícies x² + y² = 1, z = 0 e z = x² + y². Podemos escrever: 0 ≤ z ≤ x² + y² x² + y² ≤ 1 Assim, a integral tripla fica: V = ∫-1¹ ∫-√(1-x²)^√(1-x²) ∫0^(x²+y²) dz dy dx Resolvendo as integrais, temos: V = ∫-1¹ ∫-√(1-x²)^√(1-x²) x²+y² dy dx V = ∫-1¹ ∫-√(1-x²)^√(1-x²) (1-x²) dy dx V = ∫-1¹ (1-x²)√(1-x²) dx V = π/3 Portanto, o volume do sólido é π/3. 17) O sólido é delimitado pelas superfícies z = 16 - 2x² - y² e z = x² + 2y². Podemos escrever: x² + 2y² ≤ z ≤ 16 - 2x² - y² Assim, a integral tripla fica: V = ∫-2² ∫-√(16-2x²)^√(16-2x²) ∫x²+2y²^(16-2x²-y²) dz dy dx Resolvendo as integrais, temos: V = ∫-2² ∫-√(16-2x²)^√(16-2x²) (16-3x²-3y²) dy dx V = ∫-2² (16/3)x^2 - (2/3)x^6 dx V = 128π/9 Portanto, o volume do sólido é 128π/9. 18) O sólido é delimitado pelas superfícies x² + y² = 4 e z² + x² = 4. Podemos escrever: -√(4-x²) ≤ y ≤ √(4-x²) -√(4-x²-z²) ≤ x ≤ √(4-x²-z²) 0 ≤ z ≤ 2 Assim, a integral tripla fica: V = ∫0² ∫-√(4-z²)^√(4-z²) ∫-√(4-x²-z²)^√(4-x²-z²) dy dx dz Resolvendo as integrais, temos: V = ∫0² ∫-√(4-z²)^√(4-z²) 2√(4-x²-z²) dx dz V = ∫0² 16/3 - (4/3)z^2 dz V = 32π/3 Portanto, o volume do sólido é 32π/3.