a) Para encontrar o vetor tangente, derivamos o vetor posição em relação a t: r(t) = ⟨t, 3 cos t, 3 sen t⟩ r'(t) = ⟨1, -3 sen t, 3 cos t⟩ Para obter o vetor tangente unitário, dividimos o vetor tangente pela sua magnitude: T(t) = r'(t)/|r'(t)| T(t) = ⟨1/√(10), -3/√(10) sen t, 3/√(10) cos t⟩ Para encontrar o vetor normal unitário, derivamos o vetor tangente em relação a t: T(t) = ⟨1/√(10), -3/√(10) sen t, 3/√(10) cos t⟩ T'(t) = ⟨0, -3/√(10) cos t, -3/√(10) sen t⟩ Para obter o vetor normal unitário, dividimos o vetor normal pela sua magnitude: N(t) = T'(t)/|T'(t)| N(t) = ⟨0, -1/√(10) cos t, -1/√(10) sen t⟩ b) Para encontrar o vetor tangente, derivamos o vetor posição em relação a t: r(t) = ⟨t2, sen t− cos t, cos t+ t sen t⟩ r'(t) = ⟨2t, cos t+ sen t, -sen t+ t cos t⟩ Para obter o vetor tangente unitário, dividimos o vetor tangente pela sua magnitude: T(t) = r'(t)/|r'(t)| T(t) = ⟨2/√(5) t, 1/√(5) cos t+ 1/√(5) sen t, -1/√(5) sen t+ 1/√(5) t cos t⟩ Para encontrar o vetor normal unitário, derivamos o vetor tangente em relação a t: T(t) = ⟨2/√(5) t, 1/√(5) cos t+ 1/√(5) sen t, -1/√(5) sen t+ 1/√(5) t cos t⟩ T'(t) = ⟨2/√(5), -1/√(5) sen t+ 1/√(5) cos t, -1/√(5) cos t- 1/√(5) sen t⟩ Para obter o vetor normal unitário, dividimos o vetor normal pela sua magnitude: N(t) = T'(t)/|T'(t)| N(t) = ⟨2/√(10), -1/√(10) sen t+ 1/√(10) cos t, -1/√(10) cos t- 1/√(10) sen t⟩ c) Para encontrar o vetor tangente, derivamos o vetor posição em relação a t: r(t) = ⟨√t, et, e−t⟩ r'(t) = ⟨1/2√t, et, -e−t⟩ Para obter o vetor tangente unitário, dividimos o vetor tangente pela sua magnitude: T(t) = r'(t)/|r'(t)| T(t) = ⟨1/√(2+2e^(2t)), e^t/√(2+2e^(2t)), -e^(-t)/√(2+2e^(2t))⟩ Para encontrar o vetor normal unitário, derivamos o vetor tangente em relação a t: T(t) = ⟨1/√(2+2e^(2t)), e^t/√(2+2e^(2t)), -e^(-t)/√(2+2e^(2t))⟩ T'(t) = ⟨-e^(2t)/2(2+2e^(2t))^(3/2), e^(2t)/2(2+2e^(2t))^(3/2), e^(-2t)/2(2+2e^(2t))^(3/2)⟩ Para obter o vetor normal unitário, dividimos o vetor normal pela sua magnitude: N(t) = T'(t)/|T'(t)| N(t) = ⟨-e^(2t)/2(2+2e^(2t)), e^(2t)/2(2+2e^(2t)), e^(-2t)/2(2+2e^(2t))⟩ d) Para encontrar o vetor tangente, derivamos o vetor posição em relação a t: r(t) = ⟨t, 1/2t2, t2⟩ r'(t) = ⟨1, t, 2t⟩ Para obter o vetor tangente unitário, dividimos o vetor tangente pela sua magnitude: T(t) = r'(t)/|r'(t)| T(t) = ⟨1/√(1+5t^2), t/√(1+5t^2), 2t/√(1+5t^2)⟩ Para encontrar o vetor normal unitário, derivamos o vetor tangente em relação a t: T(t) = ⟨1/√(1+5t^2), t/√(1+5t^2), 2t/√(1+5t^2)⟩ T'(t) = ⟨-5t/(1+5t^2)^(3/2), 1/(1+5t^2)^(3/2), -4t/(1+5t^2)^(3/2)⟩ Para obter o vetor normal unitário, dividimos o vetor normal pela sua magnitude: N(t) = T'(t)/|T'(t)| N(t) = ⟨-5t/(1+5t^2)^(5/2), 1/(1+5t^2)^(5/2), -4t/(1+5t^2)^(5/2)⟩