6. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1) b) x = t2 ...

a) Para encontrar a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, precisamos encontrar o vetor tangente e o ponto de tangência. O vetor tangente é dado pela derivada das equações paramétricas em relação a t: r'(t) = (5t^4, 4t^3, 3t^2) Substituindo t = 1, temos: r'(1) = (5, 4, 3) O ponto de tangência é dado pelas equações paramétricas no ponto dado: P = (1, 1, 1) A equação da reta tangente é dada por: r(t) = P + t*r'(1) Substituindo os valores, temos: r(t) = (1, 1, 1) + t*(5, 4, 3) r(t) = (5t + 1, 4t + 1, 3t + 1) Portanto, as equações paramétricas da reta tangente são x = 5t + 1, y = 4t + 1 e z = 3t + 1. b) Para encontrar a reta tangente, seguimos o mesmo procedimento. O vetor tangente é dado por: r'(t) = (2t, 2t, 1) Substituindo t = -1, temos: r'(-1) = (-2, -2, 1) O ponto de tangência é dado por: P = (-1, 1, 1) A equação da reta tangente é dada por: r(t) = P + t*r'(-1) Substituindo os valores, temos: r(t) = (-1, 1, 1) + t*(-2, -2, 1) r(t) = (-2t - 1, -2t + 1, t + 1) Portanto, as equações paramétricas da reta tangente são x = -2t - 1, y = -2t + 1 e z = t + 1. c) Para encontrar a reta tangente, seguimos o mesmo procedimento. O vetor tangente é dado por: r'(t) = (1/t, 1/√t, 2t) Substituindo t = 0, temos: r'(0) = (infinito, infinito, 0) Nesse caso, não é possível encontrar a reta tangente, pois o vetor tangente não existe. d) Para encontrar a reta tangente, seguimos o mesmo procedimento. O vetor tangente é dado por: r'(t) = (1, -e^-t, 2 - 2t) Substituindo t = 0, temos: r'(0) = (1, -1, 2) O ponto de tangência é dado por: P = (0, 1, 0) A equação da reta tangente é dada por: r(t) = P + t*r'(0) Substituindo os valores, temos: r(t) = (0, 1, 0) + t*(1, -1, 2) r(t) = (t, 1 - t, 2t) Portanto, as equações paramétricas da reta tangente são x = t, y = 1 - t e z = 2t. e) Para encontrar a reta tangente, seguimos o mesmo procedimento. O vetor tangente é dado por: r'(t) = (-t*sin(t) + cos(t), 1, t*cos(t) + sin(t)) Substituindo t = -π, temos: r'(-π) = (π - 1, 1, -π) O ponto de tangência é dado por: P = (-π, 0, 0) A equação da reta tangente é dada por: r(t) = P + t*r'(-π) Substituindo os valores, temos: r(t) = (-π, 0, 0) + t*(π - 1, 1, -π) r(t) = ((1 - π)t - π, t, (-π - 1)t) Portanto, as equações paramétricas da reta tangente são x = (1 - π)t - π, y = t e z = (-π - 1)t.