2. Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas ∂z ∂u e ∂z ∂v das funções. a) z = cos(exy), x = u+ v e y = u− v. b) z = x2 + y4 − xy, x = u2 e y ...

a) Para calcularmos as derivadas parciais ∂z/∂u e ∂z/∂v, usamos a regra da cadeia. Temos: ∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u ∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v Substituindo as funções dadas, temos: z = cos(e(u-v)(u+v)) x = u + v y = u - v Calculando as derivadas parciais, temos: ∂z/∂u = -v(e(u-v)(u+v))sin(e(u-v)(u+v)) + e(u-v)(u+v)(-2v)sin(e(u-v)(u+v)) ∂z/∂v = -u(e(u-v)(u+v))sin(e(u-v)(u+v)) + e(u-v)(u+v)(2u)sin(e(u-v)(u+v)) b) Para calcularmos as derivadas parciais ∂z/∂u e ∂z/∂v, usamos a regra da cadeia. Temos: ∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u ∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v Substituindo as funções dadas, temos: z = (u^2)^2 + (2v)^4 - (u^2)(2v) x = u^2 y = 2v Calculando as derivadas parciais, temos: ∂z/∂u = 4u^3 - 2v ∂z/∂v = 16v^3 - 2u^2 c) Para calcularmos as derivadas parciais ∂z/∂u e ∂z/∂v, usamos a regra da cadeia. Temos: ∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u ∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v Substituindo as funções dadas, temos: z = ln((1+u^2+|u+2v|)/(1+u^2)) x = 1 + u^2 y = |u+2v| Calculando as derivadas parciais, temos: ∂z/∂u = (2u+2(u+2v)/(1+u^2+|u+2v|)) ∂z/∂v = (2(u+2v)/(1+u^2+|u+2v|)) d) Para calcularmos as derivadas parciais ∂z/∂u e ∂z/∂v, usamos a regra da cadeia. Temos: ∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u ∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v Substituindo as funções dadas, temos: z = arcsen(u^2 + v^2 - 1) x = u^2 + v^2 y = 1 - 2uv Calculando as derivadas parciais, temos: ∂z/∂u = (2u)/(sqrt(1-(u^2+v^2-1)^2)) ∂z/∂v = (2v)/(sqrt(1-(u^2+v^2-1)^2)) e) Para calcularmos as derivadas parciais ∂z/∂u e ∂z/∂v, usamos a regra da cadeia. Temos: ∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u ∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v Substituindo as funções dadas, temos: z = (u cos(v))^2 * (u sen(v))^3 x = u cos(v) y = u sen(v) Calculando as derivadas parciais, temos: ∂z/∂u = 2u^2cos^2(v)sen^2(v) + 3u^3cos^2(v)sen^3(v) ∂z/∂v = 2u^2cos^3(v)sen^2(v) + 3u^2cos^2(v)sen^3(v) f) Para calcularmos as derivadas parciais ∂z/∂u e ∂z/∂v, usamos a regra da cadeia. Temos: ∂z/∂u = ∂z/∂x * ∂x/∂u + ∂z/∂y * ∂y/∂u ∂z/∂v = ∂z/∂x * ∂x/∂v + ∂z/∂y * ∂y/∂v Substituindo as funções dadas, temos: z = e^(u/v) + 2v/u x = u/v y = v/u Calculando as derivadas parciais, temos: ∂z/∂u = (e^(u/v) * (-2v))/(u^2) - (2v)/(u^2) ∂z/∂v = (e^(u/v))/(v^2) - (2)/(u*v^2)